Obviamente, la "mayoría" de los términos deben anularse con signo algebraico contrario.
Se pueden inventar ejemplos como que la suma de los miembros de R sea 0, pero ¿alguna vez una suma incontable, con una suma finita, se produce de forma natural como parte de un escenario mayor (por ejemplo, la demostración de un teorema o la preparación de una definición)?
Si $I$ es un conjunto y $f:I\to\mathbb R$ es una función, existe una definición estándar de lo que significa que $f$ sea sumable .
Una forma compacta de darlo es la siguiente. Sea $\mathscr P_{\mathrm{fin}}(I)$ sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $I$ y que $\bar f:\mathscr P_{\mathrm{fin}}(I)\to\mathbb R$ sea una función tal que $$\bar f(A)=\sum_{a\in A}f(a)$$ para cada $A\in\mathscr P_{\mathrm{fin}}(I)$ . El conjunto $\mathscr P_{\mathrm{fin}}(I)$ está parcialmente ordenado por inclusión, y con este orden es dirigido, por lo que podemos ver $\bar f:\mathscr P_{\mathrm{fin}}(I)\to\mathbb R$ como red en $\mathbb R$ .
Decimos que la función $f$ es sumable si la red $\bar f$ converge, y el límite de la red es por definición la suma de $f$ . Esta noción se extiende sumabilidad absoluta de series; no conozco ningún significado sensato de sumabilidad condicional de tal familia -- por lo que no creo que se trate en absoluto de una "cancelación".
Ahora bien, como $\mathbb R$ es un espacio topológico con una base denumerable, se puede comprobar fácilmente que
si una función $f:I\to\mathbb R$ es sumable según esta definición, entonces el conjunto $\{i\in I:f(i)\neq0\}$ es contable.
Sólo si todos los términos, excepto un número contable, son $0$ . Considere el número de términos mayores que $1$ sólo puede haber un número finito. Entonces consideremos el número de términos mayores que $1/2$ sólo puede haber un número finito. Continuando, sólo puede haber un número finito de términos mayores que $1/k$ para cada k. Por lo tanto, dado que cualquier término mayor que $0$ debe ser mayor que $1/k$ para algunos $k$ sólo puede haber un número contable (una unión contable de conjuntos finitos) de términos mayores que $0$ .
Más: Se me olvidó mencionar lo de la cancelación. Sólo puedes tener cancelación, como en la convergencia condicional, si puedes ordenar los términos, lo que no puedes hacer con un número incontable de términos. Por lo tanto, sólo tiene sentido trabajar con sumas absolutamente convergentes e incontables.
Una aplicación de las sumas incontables (o, para ser más precisos, sumas a lo largo de un conjunto de índices arbitrarios) que conozco es la definición del espacio de Hilbert $\ell_2(A)$ .
Un ejemplo muy básico de espacio de Hilbert es el espacio $\ell_2=\ell_2(\mathbb N)$ . Los elementos de este espacio son secuencias tales que $\sum\limits_{i\in\mathbb N} x(i)^2<\infty$ . Está dotado del producto interno viene dado por $\langle x,y \rangle =\sum\limits_{i\in\mathbb N} x(i)y(i)$ .
Si permitimos la suma sobre conjuntos arbitrarios, entonces podemos definir $\ell_2(A)$ utilizando casi la misma construcción; en este caso, tomamos todas las funciones $x\colon A\to\mathbb R$ tal que $$\sum_{i\in A} x(i)^2 < \infty$$ y el producto interior será $$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i\in A} x(i)y(i).$$
Se puede demostrar que se trata efectivamente de un espacio de Hilbert y que todo espacio de Hilbert $X$ es isomorfo a $\ell_2(A)$ para algún conjunto $A$ . Cardinalidad de $A$ es precisamente la "dimensión de Hilbert", es decir, la cardinalidad de base ortonormal para $X$ . Este resultado es, en cierto sentido, una clasificación de todos los espacios de Hilbert.
Estos resultados pueden encontrarse, por ejemplo, en:
Y probablemente haya muchos otros lugares donde buscar. Basta con buscar en Google algunas frases razonables, por ejemplo:
Véase también: ¿Es todo espacio de Hilbert un $L^2$ ¿espacio?
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