Apertura efectiva de la antena isotrópica

Question

Siempre he tomado por sentado que la apertura de una antena isotrópica menor pérdida es $\dfrac {\lambda^2} {4\pi}$'.

Por capricho, he tratado de ver cómo se deriva esta expresión, pero hasta ahora no pude encontrar una referencia que funciona hacia fuera. ¿Puede alguien explicar la prueba, o ayudarme con cualquier punteros a alguna fuente en línea? ¿Esperemos que esto se puede hacer utilizando el cálculo vectorial 3D?

Gracias...

Answer 1

Así que aquí estoy, respondiendo a mi propia pregunta...

Larga historia corta-me encontré con la respuesta aquí, y en la página 149 de Herramientas de Radio Astronomía' [Rohlfs/Wilson/Huttemeister 5/e de 2009], y en la página 24 de la Radio Astronomía' [Pawsey/Bracewell 1955] y ahora voy a expresar la respuesta en mis propias palabras para salvar al lector un clic!

Curiosamente, una parte de esta prueba viene de la Termodinámica-en concreto el de Rayleigh-Jeans Ley que dice que, dado un cuerpo negro a la temperatura de $T$, el espectral resplandor $B_{\nu}$ (potencia radiada por unidad de sólido ángulo por unidad de área por unidad de frecuencia) está dada por: $$ B_{\nu} = \frac {2 {\nu}^2 k T }{c^2} = \frac {2 k T }{{\lambda}^2} $$

Otra parte es la densidad espectral de potencia de ruido térmico, el cual es: $$ \frac {dP}{d\nu}=kT $$

Ahora consideramos dos cavidades esféricas hechas a la perfección material absorbente, en equilibrio térmico con la temperatura de la $T$. Ahora, tenemos una antena isotrópica de apertura efectiva (visto desde cualquier dirección, que por definición) $A_e$ en el centro de la primera cavidad, y una igualada resistor $R$ en el centro de la segunda. La antena y la resistencia están conectados a través de una línea de transmisión y un filtro que pasa frecuencias entre el$\nu$$\nu + d\nu$. Como este:

Las paredes se emiten radiación de cuerpo negro. La antena se recogen, como la resistencia (como térmica de boise.) Una vez recogido, el poder tiene otro lugar a donde ir, excepto hacia abajo de la línea de transmisión hacia el otro de la cavidad. Poder fuera de la banda de frecuencia $\left[\nu, \nu+d\nu\right]$ cumple infinito de la impedancia del filtro, y se refleja de regreso a donde fue recibido -- y es re-irradiada de vuelta en el original de la cavidad, electromagnéticamente en la izquierda de la cavidad, y térmicamente en el derecho.

Ahora el poder se " ve " desde el punto en el espacio donde la antena se encuentra, como en la superficie de la integral del vector de Poynting tomadas alrededor del punto, será: $$ \int_0^{\infty} \left(\int_{4\pi}A_e\;B_{\nu}\;d\Omega\right)d\nu $$ Pero esta radiación es no polarizada, por lo que la antena puede recoger power de sólo uno de polarización -- sólo la mitad de lo que está disponible. Así, en la parte izquierda de la cavidad tenemos las siguientes energía recogida por la antena en la banda de frecuencia de nuestro interés: $$ d\nu\;\frac 12 \int_{4\pi} A_e\;B_{\nu}\;d\Omega = d\nu\;\frac {A_e kT} {\lambda^2} \int_{4\pi} 1\;d\Omega = d\nu\;\frac {4\pi A_ekT} {\lambda^2} $$

En el lado derecho, la térmica, la potencia de ruido generada por la resistencia en la banda de frecuencia de nuestro interés se $$ kT\;d\nu $$

Desde las dos cavidades están a la misma temperatura, por la segunda ley de la termodinámica, no neto de energía puede fluir entre las dos cavidades. Así, la energía recogida por la antena debe ser igual a la potencia de ruido generada por la resistencia. Por lo tanto: $$ d\nu\;\frac {4\pi A_e kT} {\lambda^2} = kT\;d\nu $$ ... y por lo tanto: $$ A_e = \frac {\lambda^2} {4\pi} $$

Answer 2

Está cubierto en este capítulo del libro de muestra:

http://highered.McGraw-Hill.com/sites/DL/Free/0072321032/62577/ch02_011_056.pdf