Imagen de clase GACION bajo homomorfismo sobreyectiva

Question

Hay un homomorfismo sobreyectiva de $G$ $G'$. Que $C$ denotan la clase GACION de elemento $x$ $G$, $C'$ la clase GACION de la imagen de $x$ $G'$. Probar que el orden de $C'$ divide el orden de $C$.

Hasta ahora, divide a utilizando la ecuación de clase puedo observar que $|C|$ $|G|$ $|C'|$ $|G'|$ de divide y también es obvio que el homomorfismo mapas $C$ surjectively $C'$. Pero absolutamente no puedo pedazo lo todos juntos.

Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

Llame el homomorfismo h $\phi$. Por el teorema de estabilizador de la órbita, $[G:C_G(x)]=|C|$ para cualquier $x\in C$. Ahora observe que centraliza la imagen de $C_G(x)$ $\phi$ $\phi(x)$ $G'$, donde $\phi[C_G(x)]\leqslant C_{G'}(\phi(x))$.

divide a $|\phi[C_G(x)]|$ $|C_G(x)|$ por lo que divide a $|C'|=[G':C_{G'}(\phi(x))]$ $[G':\phi[C_G(x)]]$ divide $[G:C_G(x)]=|C|.$