Pacman en una franja de Mobius

Question

Pacman vive en el cilindro 2D, $S^1 \times I$ , donde $I \subset \mathbb{R}^1$ es un intervalo de la recta real. Para poder jugar al juego en una superficie plana, representamos el mundo de Pacman en un dominio fundamental, un rectángulo, e identificamos dos bordes límite de forma adecuada. Digamos que la anchura de la pantalla es $2\pi$ .

Supongamos que, en cambio, Pacman viviera en la franja de Mobius. ¿Tendríamos que duplicar el ancho de la pantalla para $4\pi$ ? ¿O eso introduciría una redundancia de 2-1 en las configuraciones en la banda de Mobius? En otras palabras, ¿una orientación invertida en el mismo lugar se considera una configuración diferente? ¿Su mundo se ha vuelto el doble de grande, o es del mismo tamaño con propiedades peculiares? ¿Veremos a Pacman invertido o veremos su mundo invertido? Por ejemplo, si Pacman tenía un lunar en la mejilla derecha mientras viajaba hacia la derecha, ¿veríamos ahora sólo el lunar en su mejilla izquierda mientras viajaba hacia la izquierda en la sección de la pantalla que es $2\pi < \theta < 4\pi$ ?

Ayúdame a entender a Pacman en la tira de Mobius. Gracias.

Answer 1

Un habitante de la llanura que vive en una franja de Möbius tiene una orientación "local". Lo que está a su izquierda puede, si viaja en un bucle que pasa por el giro una vez, verse más tarde a su derecha, de pie en el mismo lugar mirando en la misma dirección.

Considere si usted y su perro permanecen juntos durante todo su entrenamiento, y siempre le da golosinas con lo que percibe como su mano izquierda.

Si luego ata a su perro, y da la vuelta a la franja, cuando vuelva, su perro esperará golosinas de la mano equivocada.

Otra forma de imaginar esto es considerar que el universo consiste en dos copias exactas de ti en un cilindro, con una orientada en sentido contrario. Así que cuando estás en $(x,y,z)$ entonces su duplicado está siempre en $(-x,-y,-z)$ con $x^2+y^2=1$ y $z\in [-1,1]$ . Todo en este universo está duplicado de forma similar. Por lo tanto, si usted viaja al lado opuesto y encuentra allí a su "otro" perro, éste está orientado de manera diferente a su primer perro.

Se podría emular esto en un videojuego mostrando dos PacMan en un rectángulo estándar $[0,1]\times[0,1]$ de tal manera que cuando PacMan 1 está en $(x,y)$ entonces PacMan 2 está en $(x\pm 1/2,1-y)$ . El laberinto y los fantasmas también tendrían que estar duplicados de forma similar, y los controles del joystick se mapearían exactamente desde uno de los Pac Men, por lo que sólo tendrías que vigilar a uno. Este es un ejemplo interesante, porque en realidad no necesitarías renderizar al "otro" tú, porque si el "otro" tú está a punto de morir, tú también. Así que puedes visualizarlo completamente como tú en un cilindro, con los fantasmas teniendo un comportamiento duplicado, y el laberinto teniendo una cierta simetría invertida. Esa podría ser la mejor manera de representar el juego para facilitar la partida.

Una última forma es dar a la banda de Möbius "profundidad". Esto es como mi Laberinto de botellas Klein En este caso, cuando uno (una persona en 3D) vuelve a un punto en el que empezó, se encuentra "volteado": sus pies están en la superficie en la que estaba el techo. La banda de Möbius en este caso es el punto medio entre el suelo y el techo. (Hay otra forma de dar profundidad a la banda de Möbius, en la que simplemente inviertes la orientación como en el caso anterior, pero es esencialmente lo mismo que antes).

El sentido de este ejemplo es que la "izquierda" y la "derecha" se invierten cuando te pones boca abajo. Si miras en la misma dirección, pero al revés, lo que era la izquierda es ahora la derecha.

En ese caso, si se desplazara una vez por el giro, vería que su perro parece estar en el techo, en lugar de en el suelo.