Singularidades de $e^{z - \frac{1}{z}}$

Question

Creo que $e^{z - \frac{1}{z}}$ tiene singularidades esenciales en $z = 0$ y $z = \infty$ (en ambos casos debido a una $\frac{1}{z}$ en el exponente) pero me resulta difícil demostrarlo. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Bueno, está claro que tenemos singularidades en esos lugares, y que están aisladas (dejo la confirmación para ti). En cualquier vecindad perforada de $0$ tenemos $e^{z-\frac1z}=\cfrac{e^z}{e^{\frac1z}}$ . Desde $e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ entonces $1/e^{1/z}$ no puede tener un polo allí (porque entonces la singularidad de $e^{1/z}$ en $z=0$ sería removible). Además, no puede acercarse a cero allí (para entonces $e^{1/z}$ explotaría, es decir, su singularidad en $z=0$ sería un polo), ni puede acercarse a ningún valor no nulo en el límite (pues entonces la singularidad de $e^{1/z}$ en $z=0$ sería de nuevo extraíble). Por lo tanto, $1/e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ y como $e^z$ es analítica y no nula en y alrededor de $z=0$ entonces $e^{z-\frac1z}=\cfrac{e^z}{e^{\frac1z}}$ también tiene una singularidad esencial allí.

Ahora, toma $z\mapsto\frac1z$ para que el resultado sea simplemente el recíproco de la función original. Como la función original tiene una singularidad esencial en $z=0$ entonces (argumentando de forma similar a lo anterior) también lo hace la función resultante. Eso equivale a que la función original tiene una singularidad esencial en $\infty$ así que hemos terminado.

¿He utilizado algún resultado que no hayas visto antes?

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Permítanme reformular todas mis afirmaciones en términos de una función arbitraria $g$ con ciertas propiedades. En particular, supongamos $g$ tiene una singularidad aislada (por lo que es esencial, removible, o un polo, ¿sí?) en $z=a$ y que $g$ es analítica y no nula en el disco perforado $$P(a;r):=\{z\in\Bbb C:0<|z-a|<r\}$$ para una cantidad suficientemente pequeña de $r>0$ . Afortunadamente, está claro que en tal caso, $1/g$ también está definida y es analítica en $P(a;r)$ . Ahora, afirmo que las siguientes afirmaciones son todas válidas:

(1) Existe algún tipo de $c\in\Bbb C$ tal que $c=\lim_{z\to a}g(z)$ si y sólo si existe algún tipo de $d\in\Bbb C$ tal que $d=\lim_{z\to a}(1/g)(z)$ . Es decir, uno de $g$ , $1/g$ tiene una singularidad removible que puede ser reparada con un valor de función distinto de cero si y sólo si la otra también lo hace.

(2) Si $0=\lim_{z\to a}g(z)$ entonces $g$ tiene una singularidad extraíble en $z=a$ y $1/g$ tiene un polo allí. Además, si $m$ es el orden del polo de $1/g$ en $z=a$ entonces la "versión reparada" de $g$ tiene $z=a$ como un cero de orden $m$ .

(3) Si $\lim_{z\to a}|g(z)|=\infty$ entonces $g$ tiene un polo en $z=a$ y $1/g$ tiene un cero allí. Como en (2), los órdenes coinciden. De hecho, esto es justo lo contrario de (2).

(4) $g$ tiene un polo (de orden $m$ ) en $z=a$ si y sólo si $1/g$ puede ser reparada a una función con un cero (de orden $m$ ), y viceversa. Obsérvese que esto sólo pone (2) y (3) juntos en un resultado.

(5) $g$ tiene una singularidad esencial en $z=a$ si y sólo si $1/g$ también tiene una singularidad esencial allí.

Es un buen ejercicio para demostrar estas afirmaciones generales. (1) debería ser sencilla de demostrar, (2) y (3) no deberían ser demasiado complicadas, y (4) es prácticamente inmediata a partir de (2) y (3). Utilizando (1) y (4) -junto con el hecho de que toda singularidad aislada es necesariamente (a) esencial, (b) removible, o (c) un polo- debería ser bastante sencillo demostrar (5). (¿Puede ver cómo?)

Ahora, deberías poder ver que la función $g(z)=e^{z-\frac1z}$ satisface todas nuestras hipótesis (con $a=0$ ), al igual que $g(1/z)=(1/g)(z)$ . Así, descartando la posibilidad de una singularidad o polo removible mediante (1) y (4), se deduce que debemos estar ante una singularidad esencial en ambos casos. Dado que $g(z)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ entonces, por (5), también lo hace $g(1/z)=(1/g)(z)$ lo que significa, por definición, que $g(z)$ tiene una singularidad esencial en $\infty$ .

Answer 2

Denota por $f(z) := e^z e^{- \tfrac{1}{z}}$ . Para $z_n = \tfrac{1}{n}i$ ves $f(z_n)$ se mantiene dentro del rango $\lvert f(z_n) \rvert = 1$ un conjunto compacto. Pero $\lvert f(\tfrac{1}{n}) \rvert \to 0$ . Por lo tanto, ya que $z_n \to 0$ se puede concluir que $f$ no tiene una singularidad extraíble en $0$ ni un poste.