Dejemos que $\phi \in C(\mathbb{R}; (0, \infty))$ sea tal que $$\lim_{|x| \to \infty} \phi(x) = 0$$ y, para $f \in L^\infty(\mathbb{R})$ , defina $$Sf(x) := \int_x^{x+1} f(x)\phi(x)\,dx.$$ Si $\{f_n : n \in \mathbb{R}\} \subset L^\infty(\mathbb{R})$ está acotado, entonces $\{Sf_n : n \in \mathbb{N}\}$ tienen una subsecuencia que converge fuertemente en $L^\infty(\mathbb{R})$ ?
Respuesta
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Dejemos que $M>0$ sea tal que $|f_n(x)|\le M$ para todos $n$ y todos $x\ge0$ . Entonces $$ |Sf_n(x)|\le M\,\sup_{x\le t\le x+1}|\phi(x)|\le M\,\|\phi\|. $$ Esto implica que $\{Sf_n\}$ está uniformemente acotado y que $\lim_{|x|\to\infty}Sf_n(x)=0$ uniformemente en $n$ .
Si $x<y<x+1$ entonces $$ |Sf_n(x)-Sf_n(y)|\le\int_x^y|f(t)\,\phi(t)|\,dt+\int_{x+1}^{y+1}|f(t)\,\phi(t)|\,dt\le2\,M\,\|\phi\|\,|x-y|, $$ demostrando que $\{Sf_n\}$ es equicontinuo.
Por el teorema de Ascoli-Arzelà, existe una subsecuencia $\{Sf_{n^1_k}\}$ que converge uniformemente en $[-1,1]$ . Esta subsecuencia tiene una subsecuencia $\{Sf_{n^2_k}\}$ que converge uniformemente en $[-2,2]$ . Siga haciendo esto, y considere la secuencia diagonal $\{Sf_{n^k_k}\}$ . Converge uniformemente en cualquier intervalo $[-k,k]$ . Ahora usa que converge a $0$ uniformemente en $n$ como $|x|\to\infty$ para concluir que de hecho converge uniformemente en $\mathbb{R}$ .
