La adjunta de una matriz de $A$ se define como $$ (\mathrm{adj}(A))_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ji}(A) $$ donde $M_{ji}(A)$ es el determinante de la matriz $A$ después de la fila $j$ y la columna $i$ han sido eliminados. Es bien conocido que $$ A\,\mathrm{adj}(A) = \mathrm{adj}(a) = \det(a) I $$ Por lo tanto, si $A$ es invertible, obtenemos la famosa fórmula $A^{-1} = \det(A)^{-1}\mathrm{adj}(A)$. También hay un conocido de expansión de $A$ con el de Cayley-Hamilton teorema, que se parece a esto: $$ p_0 I + p_1 Un + p_2 A^2 + \dots + p_n A^n = 0 $$ donde el $p_i$ son los coeficientes del polinomio característico de a $A$. Lo he visto escrito en muchos lugares (wikipedia, planetmath, libros de texto) que el siguiente también tiene: $$ \mathrm{adj}(A) = -(p_1 I + p_2 Un + \dots + p_n A^{n-1}) $$ donde el $p_i$ son los mismos que en la anterior ecuación. Es fácil probar esta fórmula en el caso de que $A$ es invertible por la aplicación de las identidades dadas anteriormente, junto con el hecho de que $p_0 = \det(A)$. Sin embargo, creo que la adjunta de expansión se mantiene cuando se $A$ no es invertible... ¿cómo puedo demostrar que para tal caso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea tener una respuesta: el OP esta pregunta en MO antes y tiene un número de buenas respuestas hay. Ver que adj(A) como un polinomio en el A?
