Encontrar un polinomio de grado > 0 $Z_4[X]$ que es una unidad.

Question

P: encontrar un polinomio de grado > 0 $Z_4[X]$ que es una unidad.

Sé que (2 x +1) es una unidad. Hay otras unidades en $Z_4[X]$ si hay infinito, podría generalizar en un seguro de (2nx +1) s.t n es un entero?

Answer 1

Todos los polinomios de la forma $$1+2p(x)$ $ son unidades. Esto es porque $2p(x)$ es nilpotente, y elementos de la forma $1+n$, $n$ nilpotentes, son las unidades en cualquier anillo.

Estas son todas las unidades de $\mathbf{Z}_4[x]$. Esto sigue del hecho de que si $u(x)$ es una unidad, entonces debe seguir siendo una unidad después de ser reducido modulo dos. Pero la única unidad de $\mathbf{Z}_2[x]$ es la constante $1$.