Construcción del monoid de fracciones

Question

Esta pregunta viene de mi intento de resolver el Ejercicio 17(b) de Bourbaki, Álgebra, Capítulo 1, §2.

Deje $E$ ser un conmutativa monoid (escrito multiplicatively) y $S$ un submonoid de $E$. Definir en $E\times S$ una equivalencia de la relación $(a,s)\sim(b,t):\Leftrightarrow$ "$\exists u\in S$ tal que $atu=bsu$". Denota el conjunto $(E\times S)/\sim$ $\overline{E}$ y la clase de $(a,s)$$a/s$. Para cualquier $a\in E$, vamos a $\epsilon(a)=a/e$.

Hasta ahora tan bueno. El Bourbaki el ejercicio es en realidad más general (en sustitución de conmutatividad por el debilitamiento de la hipótesis), pero, incluso en este caso especial, yo no puedo hacer el siguiente paso:

Mostrar que existe en $\overline{E}$ uno y sólo uno de monoid estructura tal que $\epsilon$ es un monoid homomorphism y tal que, para todos los $s\in S$, $\epsilon(s)$ es invertible.

Mi problema es con el "sólo una parte". Dado un monoid estructura $\otimes$ $\overline{E}$ con esas propiedades, no veo razón por la $(a/s)\otimes(b/t)=(ab)/(st)$$(s/e)\otimes(e/s)=e/e$. No podía encontrar un contraejemplo en el caso de $E=\mathbb{N}$, ni tampoco la búsqueda de darme alguna intuición sobre el por qué de la afirmación debe ser cierto.

Este conmutativa caso de que se trata en el texto de Bourbaki del Álgebra, pero no se hace mención de "sólo uno".

Me alegro por todo lo que se me inicia.

Answer 1

Creo que el "sólo una parte" no se sostiene. Por lo general hay un montón de monoid estructuras en el conjunto de $\bar{E}$ tal que $\epsilon$ es un monoid homomorphism y $\epsilon(s),s\in S$ es invertible.

Por ejemplo, supongamos $E=S=\mathbb{N}$ ser los números naturales con su habitual adición. A continuación, $\bar{E}=\mathbb{Z}$ es esencialmente el de enteros con su habitual y, además, que se denota por a $+$. Deje $\phi$ ser cualquier no-identidad permutación de los enteros que corrige los números enteros no negativos. A continuación, $m\oplus n=\phi^{-1}(\phi(m)+\phi(n))$ define un nuevo monoid estructura $\oplus$ el (juego de) enteros, que tiene las dos propiedades necesarias.

Primero vamos a comprobar que $\oplus$ es asociativa y conmutativa de la operación que ha $0$ como su elemento neutro; si $m,n,p \in \mathbb{Z}$, luego

$$ \begin{eqnarray*} (m\oplus n)\oplus p &=& \phi^{-1}(\phi(m)+\phi(n))\oplus p \\ &=& \phi^{-1}(\phi\phi^{-1}(\phi(m)+\phi(n))+\phi(p)) \\ &=& \phi^{-1}((\phi(m)+\phi(n))+\phi(p)) \\ &=& \phi^{-1}(\phi(m)+(\phi(n)+\phi(p)) \\ &=& \phi^{-1}(\phi(m)+\phi\phi^{-1}(\phi(n)+\phi(p))) \\ &=& m \oplus \phi^{-1}(\phi(n)+\phi(p)) \\ &=& m\oplus (n\oplus p), \end{eqnarray*} $$ $$ m\oplus n=\phi^{-1}(\phi(m)+\phi(n))=\phi^{-1}(\phi(n)+\phi(m))=n\oplus m $$ y $$ m\oplus 0 = \phi^{-1}(\phi(m)+\phi(0)) = \phi^{-1}(\phi(m)+0)=\phi^{-1}(\phi(m))=m. $$

A continuación, veamos que $\epsilon:(\mathbb{N},+)\to(\mathbb{Z},\oplus),\epsilon(n)=n$ es un monoid homomorphism; si $m,n\in \mathbb{N}$, luego $$ \epsilon(m) \oplus \epsilon(n) = m \oplus n = \phi^{-1}(\phi(m)+\phi(n)) = \phi^{-1}(m+n)=m+n=\epsilon(m+n);\ \epsilon(0)=0. $$

Cada uno de los elementos $\epsilon(n),n\in\mathbb{N}$ es invertible, ya que para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ $$ n\oplus \phi^{-1}(-\phi(n)) = \phi^{-1}(\phi(n)+\phi\phi^{-1}(-\phi(n)))=\phi^{-1}(\phi(n)+(-\phi(n))=\phi^{-1}(0)=0. $$

Por último, tenga en cuenta que $\oplus$ es diferente de $+$ debido a que existe un entero positivo $m$ que $\phi(-m)\neq -m$, lo que implica que $m+\phi(-m)\neq 0$ y $$ m\oplus(-m)=\phi^{-1}(\phi(m)+\phi (m))=\phi^{-1}(m+\phi (m))\neq 0\quad (=m+(-m)). $$

---

Gracias a Theo Buehler para sugiriendo una corrección para mi inicial erróneo intento de responder a la pregunta.