Evaluar la integral $\int_{-1}^{1} \frac{\sin{x}}{1+x^2}dx$

Question

Se me pidió para evaluar la integral

$$\int_{-1}^{1} \frac{\sin{x}}{1+x^2}dx$$

si es que existe.

Este es un problema de Cálculo y el estudiante ha sido enseñado cómo utilizar trigonométricas sustitución. Mi intuición era hacer trig sub con $$x=\tan{\theta}$$ and eliminating $$\frac{dx}{1+x^2}$$ but when I do that the numerator becomes $$\sin{(\tan{\theta})}$$ que no me siento a gusto integración.

Otra cola era que el problema se pregunta "si existe", así que he intentado a ver si hay puntos dentro de $(-1,1)$ que puede causar ningún problema, pero no creo que vea ninguna asíntotas o indefinido números, por lo que no estoy seguro de si estoy tratando con una integral impropia.

Alguien me puede ayudar en esto? Gracias.

Answer 1

Cero por simetría.

Es un extraño integrando integrado sobre un límite simétrico

o más correctamente "integrado en un intervalo que es simétrico sobre el origen".

Answer 2

La integral es\begin{align} I &= \int_{-1}^{1} \frac{\sin(x)}{1+x^{2}} dx \\ &= \int_{-1}^{0} \frac{\sin(x)}{1+x^{2}} dx + \int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{1+x^{2}} dx \\ &= - \int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{1+x^{2}} dx + \int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{1+x^{2}} dx \\ &= 0 \end align {} donde se hizo el cambio de la variable $x \rightarrow -x$.

Answer 3

Vamos a comenzar por la evaluación de $$I(x) = \int\!\dfrac{\sin(x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

$$I = \dfrac{1}{2i} \int\!\dfrac{\sin(x)}{x-i}\mathrm{d}x - \dfrac{1}{2i}\int\!\dfrac{\sin(x)}{x+i}\mathrm{d}x$$

$$I = \dfrac{1}{2i} \int\!\dfrac{\sin(x)}{x-i}\mathrm{d}x - \dfrac{1}{2i}\int\!\dfrac{\sin(x)}{x+i}\mathrm{d}x$$

Ahora vamos a considerar $$J_\pm = \int\!\dfrac{\sin(x)}{x\pm i}\mathrm{d}x$$

Sustituto $u = x \pm i$.

$$J_\pm = \int\!\dfrac{\sin(u \mp i)}{u}\mathrm{d}x = \int\!\dfrac{\sin(u)\cos(i)\mp\sin(i)\cos(u)}{u}\mathrm{d}x$$

La división de la integral y el uso de las funciones hiperbólicas

$$J_\pm = \int\!\dfrac{\sin(u)\cosh(1)}{u}\mathrm{d}x \mp\int\!i\dfrac{\sinh(1)\cos(u)}{u}\mathrm{d}x$$

Escrito en términos de $\operatorname{Si}(x)$ $\operatorname{Ci}(x)$

$$J_\pm = \cosh(1)\operatorname{Si}(u) \mp i\sinh(1)\operatorname{Ci}(u)$$

$$J_\pm = \cosh(1)\operatorname{Si}(x\pm i) \mp i\sinh(1)\operatorname{Ci}(x\pm i)$$

$$I = \dfrac{1}{2i}\left(J_--J_+\right)$$

$$I = \dfrac{\left(\cosh(1)\operatorname{Si}(x- i) + i\sinh(1)\operatorname{Ci}(x- i)\right)-\left(\cosh(1)\operatorname{Si}(x+ i) - i\sinh(1)\operatorname{Ci}(x+ i)\right)}{2i}$$

Ahora evaluar $I$$1$$-1$.

$$I(1) = I(-1) = -0.324967578038053553$$

$$I(1) - I(-1) = \boxed{0}$$

Si eres astuto puede usar la simetría para mostrar que $I(1) = I(-1)$ sin llegar a calcular el valor.