¿Cómo sigue la ley fuerte de grandes números de Birkhoff ' s Teorema ergódico?

Question

Queremos demostrar la ley fuerte de grandes números con Teorema de ergódico de Birkhoff.

Que $X_k$ sea una secuencia de i.i.d. de $\mathcal{L}^1$ variables aleatorias. Se trata de un proceso estocástico con medida-preservar operación $\theta$ (el operador de turno). Del Teorema ergódico de Birkhoff obtenemos $\frac{X_0 + \dotsb + X_{n-1}}{n} \to Y$ a.s., $Y=\mathbb{E}[X_1 \mid \mathcal{J}_{\theta}]$ a.s.

Ahora, si $Y$ a.s. constante, $Y= \mathbb{E}[X_1]$ a.s. y tendría el resultado deseado. ¿Pero por qué $Y$ a.s. constante?

Answer 1

La transformación de $\theta$ $\Omega^{\Bbb N}$ es ergodic. De hecho, es suficiente para mostrar que para cada cilindro $A$$B$, tenemos $$\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\mu(\theta^{-k}A\cap B)\to \mu(A)\mu(B),$$ donde $\mu$ es la medida en que el producto $\sigma$-álgebra. Si $A=\prod_{j=0}^NA_j\times \Omega\times\dots$$B=\prod_{j=0}^NB_j\times \Omega\times\dots$, $k>N$ \begin{align} \theta^{-k}A\cap B&=\{(x_j)_{j\geq 0}, (x_{j+k})_{j\geq 0}\in A, (x_j)_{j\geq 0}\in B\}\\ &=\{(x_j)_{j\geq 0},x_{j+k}\in A_j, 0\leq j\leq N, x_j\in B_j,0\leq j\leq N\}\\ &=B_0\times \dots\times B_N\times \Omega\times\dots\times \Omega\times A_0\times\dots\times A_n\times \Omega\times\dots, \end{align} y se utiliza la definición de producto medida $\mu$ en los cilindros ($N$ primeros términos no importa).

Desde $\theta$ es ergodic, $\mathcal J_{\theta}$ se compone sólo de los eventos de medida $0$ o $1$. La esperanza condicional con respecto a un $\sigma$-álgebra es necesariamente constante.