Utilizando $\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n! n^z}{z(z+1)(z+2)\ldots(z+n)} \right]$ para demostrar el producto de Weiestrass.

Question

Estuve buscando en la web bastante a fondo en los últimos dos días. Estuve paralelamente buscando una prueba rigurosa usando $$ \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n! n^z}{z(z+1)(z+2)\ldots(z+n)} \right] $$
para demostrar la representación canónica de wierstrass de la función gamma $$ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} $$
He visto una prueba para la inversa, ejemplo aquí http://www.proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Gamma_Function_Definitions ¿pero cómo se hace para demostrarlo en el otro sentido?

Answer 1

Según el límite, $$ \begin{align} \frac1{\Gamma(z)} &=z\lim_{n\to\infty}n^{-z}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac zk\right)\\ &=z\lim_{n\to\infty}n^{-z}\prod_{k=1}^ne^{z/k}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac zk\right)e^{-z/k}\\ &=z\lim_{n\to\infty}e^{z(H_n-\log(n))}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac zk\right)e^{-z/k}\\ &=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+\frac zk\right)e^{-z/k}\\ \end{align} $$

Answer 2

Sugerencia Escriba $${\Gamma _n}(z) = {z^{ - 1}}{e^{z\log n}}\prod\limits_{k = 1}^n {{{\left( {1 + \frac{z}{k}} \right)}^{ - 1}}} $$

y usar eso $$\gamma=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(\log n-H_n\right)$$ para conseguir $${\Gamma _n}(z) = {z^{ - 1}}{e^{-z\left( {{H_n} - \log n} \right)}}\prod\limits_{k = 1}^n {{{\left( {1 + \frac{z}{k}} \right)}^{ - 1}}{e^{ \frac{z}{k}}}} $$

Entonces dejemos que $n\to \infty$ .