La derivada de Lie de una función suave $f:M\to \mathbb{R}$ con respecto a un vector tangente $X\in T_{p}(M)$ en un punto $p$ es simplemente la derivada direccional de $f$ con respecto a $X$ en $p. Entonces, en tu ejemplo, $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es una función suave y $v$ define un campo vectorial suave en $M$. Si $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, ¿cuál es la derivada direccional de $f$ con respecto al vector $v_{(x,y)}=(x^2,2y^2)\in T_{(x,y)}(\mathbb{R}^2)$? Puedes recordar del cálculo multivariable que está dado por el producto punto de este vector con el gradiente de $f$ en este punto; entonces,
$v_{(x,y)}(f)$
$=x^2\frac{\partial f}{\partial x}+2y^2\frac{\partial f}{\partial y}$
$=x^2(2x)+2y^2(0)$
$=2x^3$.
Por supuesto, $v$ es un campo vectorial suave en $\mathbb{R}^2$ y $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es una función suave. Hemos visto que para cada $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, $v_{(x,y)}(f)$ es un número real bien definido. Así, $v(f):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es una función definida por la regla $(x,y)\to v_{(x,y)}(f)$ y en este caso es suave porque está dada por la regla $v(f)(x,y)=2x^3$. De hecho, esta es una regla general en geometría diferencial: ¡un campo vectorial suave puede ser considerado como un operador que toma una función suave y devuelve otra función suave! El principio general está abajo:
Sea el conjunto de funciones suaves $f:M\to \mathbb{R}$ denotado por $C^{\infty}(M)$. Si $X\in T_{p}(M)$ es un vector tangente a $M$ en $p$, entonces $X$ es una derivación $X:C^{\infty}(p)\to \mathbb{R}$. Nota que $C^{\infty}(p)$ denota el espacio vectorial real de germenes en $p$, es decir, pares $(f,U)$ donde $U$ es un vecindario abierto de $p$ y $f:U\to \mathbb{R}$ es una función suave. Además, por una derivación $X:C^{\infty}(p)\to \mathbb{R}$, me refiero a un mapa lineal que satisface la regla de Leibniz: si $(f,U),(g,V)\in C^{\infty}(p)$, entonces $X(fg)=X(f)g+X(g)f$ en $U\cap V$.
Supongo que tu pregunta es: ¿cómo en la práctica calculamos $X$? Ya he afirmado que $X$ puede ser considerado como un operador de derivada direccional. Si $X\in T_{p}(M)$, entonces todo lo que necesitamos es que tengamos una función de valor real $f$, definida suavemente en un vecindario de $p$, y luego podemos hablar de la derivada direccional de $f$ en $p$ en la dirección de $X$. En general, si $(U,\phi)$ es un vecindario de coordenadas de $p\in M$, entonces podemos escribir $X$ en estas coordenadas locales: $X=\sum_{i=1}^{n} a_i \frac{\partial}{\partial x_i}$; aquí, $(x_1,\dots,x_n)$ son las coordenadas locales para $(U,\phi)$ y $\frac{\partial}{\partial x_i}$ para $1\leq i\leq n$ son los marcos de coordenadas en $(U,\phi)$. Los marcos de coordenadas son simplemente las direcciones en $(U,\phi)$ análogas al caso de $\mathbb{R}^n$ donde tenemos ejes de coordenadas. ¡Nota, sin embargo, que estas "direcciones" son vectores en el espacio tangente a $M$ en varios puntos en $U$!
Ahora, si $f:U\to \mathbb{R}$ es una función suave, entonces $X(f)=\sum_{i=1}^{n} a_i\frac{\partial f}{\partial x_i}$. Técnicamente, necesitas demostrar que esta fórmula es válida. Todo lo que sabemos es que $X$ es lineal y satisface la regla de Leibniz, pero resulta que esto es suficiente para restringir $X$ lo suficiente para que se pueda expresar mediante la fórmula mencionada.
En general, si $X$ es un campo vectorial suave en $M$, entonces una función suave $f:M\to \mathbb{R}$ da como resultado una función suave $X(f):M\to \mathbb{R}$. En otras palabras, $X:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ define un operador:
Ejercicio 1: Demuestra que $X:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ es una derivación, es decir, es lineal y satisface la regla de Leibniz.
Ejercicio 2: Demuestra que toda derivación $X:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ está dada por un campo vectorial suave en $M$ según la receta descrita anteriormente.
Ejercicio 3: ¿Cuál es la derivada de Lie de las siguientes funciones con respecto a los campos vectoriales suaves dados en $\mathbb{R}^3$:
(a) $f(x,y,z)=1$ y $v(x,y,z)$ es cualquier campo vectorial suave en $\mathbb{R}^3$. Interpreta el resultado geométricamente.
(b) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ y $v(x,y,z)=(x,y,z)$. Interpreta el resultado geométricamente.
(c) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ y $v(x,y,z)$ es un campo vectorial suave en $\mathbb{R}^2$ tangente a la esfera de radio $r$ en cualquier punto de distancia $r$ desde el origen. Interpreta este resultado geométricamente.
Ejercicio 4: Sea $f:S^1\to \mathbb{R}$ la función suave definida asignando un punto en el círculo a su ángulo (medido en radianes) desde el eje x en dirección antihoraria; esto es un número en $[0,2\pi)$ para cada $x\in S^1$. Define coordenadas locales en $S^1$ por la regla $\theta\to (\cos \theta, \sin \theta)$ y sea $X$ el campo vectorial suave en $S^1$ dado por $\frac{\partial}{\partial \theta}$ en estas coordenadas. Determina $X(f)$.
Ejercicio 5: Si $X$ e $Y$ son campos vectoriales suaves en $M$, entonces la derivada de Lie de $Y$ with respecto a $X$ está dada por la derivación $Z:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ definida por la regla $Z(f)=X(Y(f))-Y(X(f))$ para todo $f\in C^{\infty}(M)$. Por supuesto, toda derivación como esta corresponde a un campo vectorial suave en $M$ y en este caso, $Z$ comúnmente se denota por $[X,Y]$, el corchete de Lie de $X$ e $Y$. En tu ejemplo de $v(x,y)=(x^2,2y^2)$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, define también $w(x,y)=(2y^2,x^2)$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^2$. Determina el corchete de Lie de $v$ y $w$, es decir, escribe explícitamente este campo vectorial suave en $\mathbb{R}^2$ en la forma $(g(x,y),h(x,y))$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^2$.
¡Espero que esto ayude! Avísame si tienes más preguntas.
