Renacuajos, 1IP y energía del uno mismo

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil la conciliación de la siguiente discrepancia:

Recordemos que en pasar a la acción efectiva a través de una transformación de Legendre, podemos interpretar la acción efectiva $\Gamma[\phi_c]$ a la generación funcional de 1 partícula irreductible funciones de Green $\Gamma^{[n]}$. En particular, el 2-función de punto es el recíproco de la conexión de la función de Green,

$$\tilde \Gamma^{[2]}(p)=i\big(\tilde G^{[2]}(p)\big)^{-1}=p^2-m^2-\Sigma(p)$$

que es el vestido propagador.

Pero, el problema es este: en el espontáneamente rota $\phi^4$ teoría, el escalar meson (las fluctuaciones cuánticas en todo el vacío de la expectativa de valor) recibe auto de la energía correcciones de tres diagramas:

$-i\Sigma(p^2)=$ + +

Tenga en cuenta que el último diagrama (el renacuajo) es no 1PI, pero deben ser incluidos (ver, por ejemplo, Peskin & Schroeder p. 361). En el MS-bar renormalization esquema, el renacuajo no se desvanezca.

Si el renacuajo gráfico se incluye en $\Sigma$, y, por tanto, en $\tilde{G}$$\tilde\Gamma$, $\tilde\Gamma$ no puede ser 1PI. Si el renacuajo no está incluido, $\tilde G$ no es la inversa de la propagador vestido (que extraño, demasiado). ¿Qué está pasando?

Answer 1

Me voy a dar una explicación en el bucle de nivel (que es el orden de los diagramas que se da en la pregunta).

En un bucle, de la acción efectiva está dada por $$ \Gamma[\phi]=S[\phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\log S^{(2)}[\phi],$$ donde $S[\phi]$ es la clásica (microscópico) de acción, $l$ es un ad hoc parámetro introducido para contar el lazo de la orden de ($l$$1$ al final), $S^{(n)}$ $n$th funcional derivada respecto a $\phi$ y el rastro es más momenta (y la frecuencia si es necesario) así como otros índices (de la O(N) modelo, por ejemplo).

La física valor del campo $\bar\phi$ está definido de tal forma que $$\Gamma^{(1)}[\bar\phi]=0.$$ En el meanfield nivel ($O(l^0)$), $\bar\phi_0$ es el mínimo de la acción clásica $S$, es decir, $$ S^{(1)}[\bar \phi_0]=0.$$ En un bucle, $\bar\phi=\bar\phi_0+\frac{1}{l}\bar\phi_1$ es tal que $$S^{(1)}[\bar \phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, S^{(3)}[\bar\phi].G_{c}[\bar\phi] =0,\;\;\;\;\;\;(1)$$ donde $G_c[\phi]$ es la clásica propagador, definido por $S^{(2)}[\phi].G_c[\phi]=1$. El punto corresponde a la matriz de productos (índices internos, impulsos, etc.). El segundo término en $(1)$ corresponde a la renacuajo diagrama en un bucle. Sigue a un bucle de precisión, $(1)$ es equivalente a $$ S^{(1)}[\bar \phi_0]+\frac{1}{l}\left(\bar\phi_1.\bar S^{(2)}+\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}\right)=0,\;\;\;\;\;\;(2) $$ donde $\bar S^{(2)}\equiv S^{(2)}[\bar\phi_0] $, etc. Encontramos así $$\bar \phi_1=-\frac{1}{2}\bar G_c.{\rm Tr}\,\bar S^{(3)}.\bar G_c. \;\;\;\;\;\;(3)$$

Ahora vamos a calcular la inversa propagador $\Gamma^{(2)}$. En un meanfield, tenemos el meanfield propagador definidos por encima de $G_c[\bar\phi_0]=\bar G_c$ que es la inversa de a $S^{(2)}[\bar\phi_0]=\bar S^{(2)}$. Esto es lo que se suele llamar el desnudo propagador $G_0$ en el campo de la teoría, y es generalizada aquí a la ruptura de la simetría de las fases.

¿Qué es la inversa de la propagador en un bucle ? Está dada por $$\Gamma^{(2)}[\bar\phi]=S^{(2)}[\bar\phi]+\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, \bar S^{(4)}.\bar G_{c}-\frac{1}{2l}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}. \bar S^{(3)}.\bar G_{c}, \;\;\;\;\;\;(4)$$ donde hemos utilizado el hecho de que el campo se puede establecer a $\bar\phi_0$ en los dos últimos términos en un bucle de precisión. Estos dos términos corresponden a los dos primeros diagramas en el OP pregunta. Sin embargo, aún no hemos terminado aún, y para ser exactos en un bucle, necesitamos expandir $S^{(2)}[\bar\phi]$ a fin de $1/l$, lo que da $$\Gamma^{(2)}[\bar\phi]=\bar S^{(2)}+\frac{1}{l}\left(\bar S^{(3)}.\bar\phi_1+\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(4)}.\bar G_{c}-\frac{1}{2}{\rm Tr}\, \bar S^{(3)}.\bar G_{c}. \bar S^{(3)}.\bar G_{c}\right). \;\;\;\;\;\;$$ Utilizando la ecuación $(3)$, nos encontramos con $$\bar S^{(3)}.\bar\phi_1= -\frac{1}{2}\bar S^{(3)}.\bar G_c.{\rm Tr}\,\bar S^{(3)}.\bar G_c,$$ que corresponde a la tercera diagrama de la OP. Esta es la forma en que estos no 1PI diagramas de obtener generado en la orden de fase, y que corresponden a la renormalization del parámetro de orden (debido a las fluctuaciones) en el clásico propagador.

Answer 2

(Me llegó a través de esta pregunta, mientras que mirando a través de los "sin respuesta" de la categoría. No sé por qué un bebé de 9 meses cuestión apareció en la lista, pero todavía parece ser una habitación de mi aportación.)

El quantum de acción eficaz, $\Gamma[\phi]$ genera 1PI diagramas de árbol y un nivel de análisis en que cantidades para un análisis completo de la acción original $S[\phi]$.

La suma de todos los 2-punto 1PI diagramas es lo que contribuye (además de a $p^{2}-m^{2}$, que también está presente en la acción original) a la cuadrática parte de $\Gamma[\phi]$. Si no existiera el término lineal en $\phi$$\Gamma[\phi]$, esta sería la energía del ser en sí; sin embargo, si $\Gamma[\phi]$ contenía un término lineal, uno tiene que hacer un árbol adicional a nivel de cálculo para obtener la propia energía de $\Gamma[\phi]$.

Como para los diagramas de Feynman en el post original, los dos primeros contribuir a $\Gamma[\phi]$, y el tercero aparece a la hora de calcular la energía de ser de $\Gamma[\phi]$.