Estoy tratando de generar muchos proyectos (es decir, de realizaciones) de un proceso Gaussiano $e_i(t)$, $1\leq t \leq T$ con media 0 y covariación función $\gamma(s,t)=\exp(-|t-s|)$.
¿Hay una manera eficiente de hacer esto que no involucran la raíz cuadrada de una matriz de covarianza $T \times T$ de computación? ¿Alternativamente puede alguien recomendar un R paquete para hacer esto?
Sí. No es muy eficiente (tiempo lineal) algoritmo, y la intuición de que viene directamente de la uniformidad de la muestra de casos.
Supongamos que tenemos una partición de $[0,T]$ tal que $0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = T$.
Muestreo uniforme caso
En este caso tenemos a $t_i = i \Delta$ donde $\Delta = T/n$. Deje $X_i := X(t_i)$ denotar el valor de la discreción muestreados proceso en el tiempo $t_i$.
Es fácil ver que el $X_i$ forma de un AR(1) con el proceso de correlación $\rho = \exp(-\Delta)$. Por lo tanto, podemos generar un recorrido de la muestra se $\{X_t\}$ para la partición de la siguiente manera $$ X_{i+1} = \rho X_i + \sqrt{1-\rho^2} Z_{i+1} \>, $$ donde $Z_i$ son iid $\mathcal N(0,1)$$X_0 = Z_0$.
Caso General
Podríamos entonces imaginar que podría ser posible hacer esto por un general de la partición. En particular, vamos a $\Delta_i = t_{i+1} - t_i$$\rho_i = \exp(-\Delta_i)$. Tenemos que $$ \gamma(t_i,t_{i+1}) = \rho_i \>, $$ y así, podríamos suponer que $$ X_{i+1} = \rho_i X_i + \sqrt{1-\rho_i^2} Z_{i+1} \>. $$
De hecho, $\mathbb E X_{i+1} X_i = \rho_i$, por lo que por lo menos tienen la correlación con el vecino término correcto.
El resultado se sigue ahora por telescópica a través de la torre de propiedades de la esperanza condicional. Es decir, $$ \newcommand{\e}{\mathbb E} \e X_i X_{i-\ell} = \e( \e(X_i X_{i-\ell} \mid X_{i-1} )) = \rho_{i-1} \mathbb E X_{i-1} X_{i-\ell} = \cdots = \prod_{k=1}^\ell \rho_{i-k} \>, $$ y el producto de los telescopios de la siguiente manera $$ \prod_{k=1}^\ell \rho_{i-k} = \exp\Big(-\sum_{k=1}^\ell \Delta_{i-k}\Big) = \exp(t_{i-\ell} - t_i) = \gamma(t_{i-\ell},t_i) \>. $$
Esto demuestra el resultado. Por lo tanto el proceso pueden ser generados en una partición arbitraria de una secuencia de iid $\mathcal N(0,1)$ variables aleatorias en $O(n)$ tiempo donde $n$ es el tamaño de la partición.
NB: Esta es una exacta técnica de muestreo en la que se ofrece una muestra de la versión de el proceso deseado con la exacta y correcta finito-dimensional de las distribuciones. Esto es en contraste a Euler (y otros) esquemas de discretización para obtener más general de la SDEs, que incurrir en un sesgo debido a la aproximación a través de la discretización.
Calcular la matriz de covarianza descompuesto por la descomposición de Cholesky incompleta o cualquier otra técnica de descomposición de la matriz. Descomposición de la matriz debe ser TxM, donde M es sólo una fracción de T.
http://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_Cholesky_factorization
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
