Ecuación diofantina no resoluble en $\mathbb{Q}$ pero en $\mathcal{O}_p$

Question

Estoy tratando de pensar en un ejemplo de ecuación diofantina que se pueda resolver en $ \mathcal{O}_p$ (lo que significa que se puede resolver $\mod p^k$ para todos $ k $ ) para todos los primos $ p $ pero no en $\mathbb{Q}$

No creo que sea una tarea tan fácil, y probablemente haya alguna respuesta clásica, pero no se me ocurre ninguna.

Agradecería alguna ayuda

Answer 1

En este documento se menciona $3x^3+4y^3+5z^3=0$ , a la que se refiere como "el ejemplo de Selmer http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/selmerexample.pdf

Answer 2

Aquí hay uno que leí hace varios años que funciona mod $p$ para cada primo $p$ . No sé si funciona para $\mathcal{O}_p$ .

Dejemos que $f(x) =(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6) $ .

$f$ obviamente no tiene raíces racionales.

Si $x^2-2$ y $x^2-3$ no tienen raíces mod $p$ , entonces 2 y 3 no son residuos cuadráticos mod $p$ , así que 6 es un residuo cuadrático mod $p$ , así que $x^2-6$ tiene una raíz.