Conúcleo de morfismo de módulo de Tate de curvas elípticas

Question

Deje $K$ ser un campo, y $\phi: E_1\to E_2$ ser un isogeny de curvas elípticas sobre $K$. Dado un primer $\ell$ diferente de la característica de $K$, $\phi$ induce una inyección de $T_\ell \phi: T_\ell E_1\to T_\ell E_2$. Es fácil comprobar grupo, teóricamente, que la cokernel de $T_\ell \phi$ es isomorfo a la $\ell$-parte principal de $\ker\phi$. Puede este isomorfismo se hizo canónica?

Nota:$\mathbb{C}$, esto puede ser escrito bastante directa. Deje $E_i=\mathbb{C}/\Lambda_i$ donde $\Lambda_i$ es una celosía. Hacemos identificar a $\Lambda_1$ como sublattice de $\Lambda_2$ a través de la isogeny. Esto da una breve secuencia exacta

$$0\to \Lambda_1 \to \Lambda_2 \to \Lambda_2/\Lambda_1\to 0,$$ donde $\Lambda_2/\Lambda_1$ es, naturalmente, identificado con $\ker{\phi}$. Tensoring con $\mathbb{Z}_\ell$ nos da $$ 0\to T_\ell E_1 \to T_\ell E_2 \to (\ker \phi)[\ell^\infty]\to 0.$$

Pero estoy teniendo problemas para hacerlo a través de un campo arbitrario.

Answer 1

Sí, este es canónica.

Tal vez es más fácil comenzar con el $\ell$-divisible grupos: tenemos la secuencia exacta corta $$0 \ker\phi[\ell^{\infty}] \a E_1[\ell^{\infty}] \a E_2[\ell^{\infty}] \a 0.$$ Ahora para obtener la Tate moduels, aplicar el functor $Hom_{\mathbb Z_{\ell}}(\mathbb Q_{\ell}/\mathbb Z_{\ell},\text{--})$, para obtener $$0 \to T_{\ell}E_1 \to T_{\ell} E_2 \to Ext^1_{\mathbb Z_{\ell}}(\mathbb Q_{\ell}/\mathbb Z_{\ell}, \ker(\phi)[\ell^{\infty}]) \to 0.$$ Para el cálculo de la Ext^1, se aplican $Hom_{\mathbb Z_{\ell}}(\text{--},\ker(\phi)[\ell^{\infty}])$ a $$0 \to \mathbb Z_{\ell} \to \mathbb Q_{\ell} \to \mathbb Q_{\ell}/\mathbb Z_{\ell} \to 0$$ para encontrar que $$Ext^1_{\mathbb Z_{\ell}}(\mathbb Q_{\ell}/\mathbb Z_{\ell}, \ker(\phi)[\ell^{\infty}]) = \ker(\phi)[\ell^{\infty}]$$ (donde aquí "$=$" significa "isomorfismo canónico"). Lo que estoy usando es el hecho de que $\ker(\phi)[\ell^{\infty}]$ es finito orden, de modo que no sólo se $Hom$s, pero también mayor $Ext$s de $\mathbb Q_{\ell}$ se desvanecen.