Límite superior de la norma l1 de la variable al azar normal multivariante

Question

Que $X \sim {\cal N}_d(0, \sigma^2I_d)$. Estoy interesado en el % de probabilidad de cola $P[||X||_1 > t]$desde arriba de límite. Un puntero a una cola exponencial o polinomio conocido límite sería apreciado.

Una idea para hacer frente a la probabilidad anterior es usar algo como la desigualdad de McDiarmid, pero adecuado para variables al azar sin límites.

Answer 1

Un truco típico es el uso de la desigualdad de Chebyshev con la función de $\exp(\alpha x)$ para obtener $$P(\|X\|_1>t)\leq E(\exp(\alpha\|X\|_1))/\exp(\alpha t).$$ Desde el 1 de norma es un suma y las coordenadas son independientes, el lado derecho es igual a $$\exp(-\alpha t)\ E(\exp(\alpha |Z|))^d=\exp(-\alpha t)\left(\exp(\alpha^2/2) (1+\mbox{erf}(\alpha/\sqrt{2})) \right)^d.$$ Aquí $Z$ es una dimensión variable aleatoria normal estándar.

Ahora se puede tratar de optimizar $\alpha$. La sustitución de los hoteles de límite superior $\mbox{erf}(\alpha/\sqrt{2})\leq 1$, y, a continuación, la optimización de da $\alpha=t/d$. Conectando en la conseguimos

$$ P(\|X\|_1>t)\leq 2^d \exp(-t^2/2d).$$

Yo sabía que se podía hacer mejor, pero tal vez será suficiente para sus propósitos.