Demostrando que espacios secuencialmente compactos son compactos.

Question

Recuerdo haber visto esta prueba en algún lugar (tal vez aquí, pero no recuerdo donde) que dice algo como esto.

Supongamos $X$ es secuencialmente compacto, y por contradicción, supongamos $\{U_n\}$ es una contables de apertura de la tapa sin finito subcover. Entonces para cualquier entero positivo $n$, la $\{U_i : i \le n\}$ no es una cubierta abierta, de modo que existe $x_n \notin \bigcup_{i \le n} U_i$. Por lo tanto, obtenemos la secuencia, y por la compacidad secuencial, existe una larga $x_{n_j}$ que converge a $a \in X$. Sin embargo, $ a \in U_k$ para algún entero positivo $k$, y en la construcción, $x_{n_j} \notin U_k$ si $n_j \ge k$. Esta es una contradicción.

¿Esto no es sólo probar cada contables de apertura de la tapa debe tener un número finito de subcover?

Answer 1

Tal vez usted no están claras las definiciones de la compacidad y countably compacidad.

1. compacidad = para cualquier apertura de la tapa, hay un número finito de abiertos subcover que cubre todo el espacio.
2. countably compacidad = para cualquier contables de apertura de la tapa, hay un número finito de abiertos subcover que cubre todo el espacio.

Por su prueba sólo vemos que cada secuencialmente compacto espacio es countably compacto, que se puede ver el Teorema de 3.10.30 de la Engelking del libro:) sin Embargo, no todos secuencialmente espacio compacto es compacto.

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Por ejemplo, el espacio topológico $\omega_1$ con el fin de topología es secuencialmente compacto en el espacio, pero no es un espacio compacto. En la primera contables espacio (de hecho, sólo se necesita secuencial del espacio), de forma secuencial compace = countably compacto. Como sabemos, el espacio es un primer contables espacio y countably compacto, por lo tanto, es secuencialmente compacto. Pero, no es un espacio compacto:)

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Por su método ( la usamos mucho como topologist ), la secuencia de su obtenida es un cerrado discretos subespacio. No ha un clúster punto:) por Lo que es una contradicción con la compacidad secuencial.