Suma de series infinitas con la función gamma

Question

Estoy calculando el volumen de una familia infinita de politopos y me he encontrado con la siguiente suma, que no estoy seguro de cómo evaluar, ya que parece similar a la función zeta de Riemann, excepto que se suma la función gamma en lugar de un entero regular $n$ . Es decir, $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(n)^2}$$ ¿Alguien ha visto esta suma antes, conoce alguna propiedad de la misma, con qué otras funciones está relacionada o a qué converge la suma? También me interesa saber a qué es igual esta suma para todos los demás números naturales en la potencia de la función gamma, no sólo para el 2.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$I_0(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2 n}}{(n!)^2}$$

donde $I_0(x)$ es la función de Bessel modificada del primer tipo de orden cero. Entonces su suma es igual a $I_0(2) \approx 2.27959$ .