¿Son espacios de eigen ortogonales?

Question

Sea $A$ un $N$de % x $N$ matriz que valores propios distintos de $k < N$. ¿Son subespacios propios correspondientes a diferentes valores propios ortogonales en general? Sé que es cierto si $A$ es a matriz normal. Pero no puede probar en general.

Answer 1

Contraejemplo: $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ tiene subespacios propios $\{(t,u,0)^T\}$ con valor propio $1$ y $\{(0,t,t)^T\}$ con valor propio $2$ y no son ortogonales.

Answer 2

No puede demostrarlo en general porque no es cierto. De hecho, para todo conjunto linealmente independiente de vectores $v_1,v_2,\dots, v_n\in\mathbb R^n$, puede definir una matriz

$$P=[v_1,v_2,\dots,v_n]$$

y un % de la matriz $D$que es una matriz diagonal con parejas distintas entradas diagonales $\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_n$.

Ahora, ya sabes que $$(PDP^{-1})v_i = PD(P^{-1}v_i) = PDe_i = \lambda_i Pe_i = \lambda_i v_i.$ $ esto significa que el % de vectores $v_1,\dots, v_n$son vectores propios, que abarca su subespacio propio distinto (ya que los valores propios son parejas distintas), y no, en general, son ortogonales.