¿Qué significa multiplicación en teoría de la probabilidad?

Question

Para eventos independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

$Pr(A\; \text{and}\;B) = Pr(A \cap B)= Pr(A)\times Pr(B)$.

ejemplo: si usted lanza una moneda dos veces, la probabilidad de que salga cara en ambas ocasiones es:

$1/2 \times 1/2 =1/4$

No entiendo por qué se multiplica. Quiero decir, he memorizado la operación por ahora, que se multiplican para eventos independientes, pero ¿por qué, no lo entiendo.

La multiplicación es el acto de escala. Si he a $4$ bolsas con $3$ bolas, entonces he a $3\times 4=12$ bolas. Esto entiendo. La multiplicación es la escala.

¿Qué escala tiene que ver con eventos independientes? No entiendo por qué organizamos un evento por el otro.

Que me lo explique como si realmente estoy muy denso, porque yo soy.

Gracias.

Answer 1

Me gusta esta respuesta tomado de http://mathforum.org/library/drmath/view/74065.html :

" Puede ser más clara si se piensa en la probabilidad como la fracción de el momento en que algo va a suceder. Si Un evento ocurre 1/2 de la el tiempo y el suceso B ocurre 1/3 del tiempo, y los sucesos a y B son independiente, entonces el evento B que va a suceder 1/3 de las veces que Un evento que pasa, ¿verdad? Y para encontrar 1/3 de 1/2, se multiplica. La probabilidad de que los eventos a y B, ambas suceder es 1/6.

Tenga en cuenta también que la adición de dos probabilidades se dan un mayor número de cualquiera de ellos; pero la probabilidad de que dos eventos TANTO no puede suceder ser mayor que cualquiera de los eventos individuales. Así que no tendría ningún sentido de agregar las probabilidades en esta situación. "

Answer 2

Si usted escoja aleatoriamente uno de $n$ objetos, cada objeto tiene la probabilidad de $\frac{1}{n}$ de ser elegido. Ahora imagine que usted escoja al azar dos veces - un objeto a partir de un conjunto de $n$ objetos, y un segundo objeto de un diferente conjunto de $m$ objetos. Hay $n\cdot m$ posible pairts de los objetos, y por lo tanto la probabilidad de cada par es $\frac{1}{n\cdot m} = \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{m}$.

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Más en general, vamos a $A$ ser algún evento con una probabilidad de $\Pr(A) = a$, e $B$ algún otro evento con una probabilidad de $\Pr(B) = b$. Asumo que ya sabes que $A$ pasó, lo que significa que en lugar de buscar en el conjunto de la probabilidad de espacio (es decir, en el conjunto de resultados posibles), ahora estamos buscando a sólo $A$. ¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que $B$ ocurre también, es decir, acerca de la probabilidad de $\Pr(B\mid A)$ (para ser leídos como "la probabilidad de $B$ bajo la condición de $A$")?

En general, no mucho! Pero, si $A$ $B$ son independientes, entonces por la definición de la independencia, sabiendo que $A$ que ha sucedido no nos proporcionan ninguna información acerca de $B$. En otras palabras, saber que $A$ ha pasado no hace que la probabilidad de $B$ sucede en cualquier pequeña o más grande, por lo que $$ \Pr(B\a mediados de A) = \Pr(B) \text{ si $A,B$ son independientes.} $$

Ahora mira a $\Pr(A \cap B)$, es decir, la probabilidad de que ambos $A$ $B$ a suceder. Sabemos que si $A$ que ha ocurrido, se $A \cap B$ que sucede con la probabilidad de $\Pr(B\mid A)$. Si nosotros no sabemos que $A$ ha pasado, tenemos que escala esta probabilidad con la probabilidad de $A$. Por lo tanto, $$ \Pr(A \cap B)= \Pr(B\a mediados de A)\Pr(A) \text{.} $$ [ Usted puede imaginarse $A$ $B$ a ser algunas de las formas, tanto en el interior de alguna forma mayor $\Omega$. $\Pr(A\cap B)$ es, entonces, el porcentaje de la zona de $\Omega$ que está cubierto por tanto $A$ y $B$, $\Pr(A)$ el porcentaje del área de $\Omega$ cubierto por $A$, e $\Pr(B\mid A)$ es el porcentaje del área de $A$ cubierto por $B$. ]

Si $A,B$ son independientes, podemos combinar estos dos resultados a obtener $$ \Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B) \text{.} $$

Answer 3

Es escala todavía, pero por números que son más pequeños que $1$. En tu ejemplo, son escala $1/2$ por un factor de $1/2$, escala hasta $1/4$. El primer $1/2$ representa los resultados en la primera moneda volteada es cabezas. Pero sólo $1/2$ (el segundo «$1/2$"de tu ejemplo) esos resultados también tenemos la segunda moneda surgen cabezas.

Answer 4

Muy informalmente, supongamos que lanzamos dos monedas, dicen que una moneda de diez centavos y un cuarto, simultáneamente $10000$ veces. A continuación, el número de veces que sale cara en la moneda debe estar en la $5000$ gama. Si no hay una "interacción" entre el resultado en la moneda de diez centavos y el resultado en el trimestre, para obtener el número aproximado de casos de estos $5000$ en la que podemos obtener una cabeza en el trimestre, se obtiene mediante la escala $5000$ por un factor de $\frac{1}{2}$.

Comentario: Aquí es un aficionado, pero menos intuitivo versión. Vamos variable aleatoria $X$ $1$ si el evento $A$ se produce, y deje $X=0$ lo contrario. Definir la variable aleatoria $Y$ de forma análoga. Así que nuestra media de ingresos si queremos obtener un dólar por cada cabeza en una moneda de diez centavos es $\frac{1}{2}$, como es nuestro promedio de ingresos si queremos obtener un dólar por cada cabeza en un trimestre. Supongamos ahora que los acontecimientos $A$ $B$ son independientes, y obtener un dólar sólo si ambos moneda de diez centavos y trimestre muestran una cabeza. A continuación, el promedio de ingresos de dimes solo se escala por un factor de $\frac{1}{2}$.