En lenguaje sencillo, ¿cuál es la diferencia entre dos cosas "equivalentes", "iguales", "idénticas" e isomorfas?
Si la respuesta depende del área de las matemáticas, entonces por favor tome la pregunta en el contexto de los sistemas y enunciados lógicos.
La convención puede variar, pero lo siguiente es, supongo, cómo la mayoría de los matemáticos utilizarían estas nociones. Idéntico e igual se utilizan muy a menudo como sinónimos. Sin embargo, a veces idéntico significa que las dos cosas no son simplemente iguales, sino que son sintácticamente iguales. Por ejemplo, tomemos $x=2$ . La afirmación de que $x^2=4$ está diciendo que $x^2$ y $4$ son iguales. La afirmación de que $x^2=x^2$ está diciendo que $x^2$ es igual a $x^2$ pero también decimos que el lado izquierdo y el lado derecho son idénticos.
La equivalencia es una noción estrictamente más débil que la igualdad. Se puede formalizar de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, como una relación de equivalencia. La relación de identidad es siempre una relación de equivalencia, pero no al revés. Una forma típica de obtener una equivalencia es suprimir algunas propiedades de los objetos que se estudian, y fijarse sólo en aspectos particulares de los mismos. Un ejemplo clásico es la aritmética modular. Decimos que $10$ y $20$ son equivalentes módulo a módulo $5$ , básicamente diciendo que mientras $10$ y $20$ no son iguales, si lo único que nos importa es su divisibilidad por $5$ entonces son lo mismo.
El isomorfismo es un término específico de la teoría de categorías. Dos objetos son isomorfos si existe un morfismo invertible entre ellos. Informalmente, dos objetos isomorfos son idénticos a efectos de responder a cualquier pregunta sobre ellos en su categoría.
Tienen diferentes tipos .
"Igual" e "idéntico" toman como entrada dos elementos de un set y devuelve un valor de verdad. Ambos significan lo mismo, que es lo que crees que significan. Por ejemplo, podemos considerar el conjunto $\{ 1, 2, 3, \dots \}$ de números naturales, y luego $1 = 1$ es cierto, $1 = 2$ es falso, y así sucesivamente.
"Equivalente" toma como entrada dos elementos de un _junto con un relación de equivalencia_ y devuelve un valor de verdad correspondiente a la relación de equivalencia. Por ejemplo, podemos considerar el conjunto $\{ 1, 2, 3, \dots \}$ de los números naturales junto con la relación de equivalencia "tiene el mismo resto al dividir por $2$ y luego $1 \equiv 3$ es cierto, $1 \equiv 4$ es falso, y así sucesivamente. El punto crucial aquí es que una relación de equivalencia es una estructura extra en un conjunto. No tiene sentido preguntar si $1$ equivale a $3$ sin especificar de qué relación de equivalencia estás hablando.
"Isomorfo" toma como entrada dos objetos en un [categoría](http://en.wikipedia.org/wiki/Category%28mathematics%29)_ y devuelve un valor de verdad correspondiente a si un isomorfismo entre los dos objetos existe. Por ejemplo, podemos considerar la categoría de conjuntos y funciones, y entonces el conjunto $\{ 1, 2 \}$ y el conjunto $\{ 3, 4 \}$ son isomorfos porque el mapa $1 \to 3, 2 \to 4$ es un isomorfismo entre ellos. El punto crucial aquí es, de nuevo, que una estructura de categoría es una estructura extra sobre un conjunto (de objetos). No tiene sentido preguntar si dos objetos son isomorfos sin especificar de qué estructura de categoría se está hablando.
Aquí hay un lugar terrible donde esta distinción importa. En Teoría de conjuntos ZF además de poder preguntar si dos conjuntos son isomorfos (lo que significa que están en biyección el uno con el otro), también es una pregunta con sentido preguntar si dos conjuntos son igual . La primera implica la estructura de la categoría de conjuntos, mientras que la segunda implica el "conjunto" de conjuntos (no es realmente un conjunto, pero ese no es el problema aquí). Por ejemplo, $\{ 1, 2 \}$ y $\{ 3, 4 \}$ son conjuntos particulares en ZFC que no son el mismo conjunto (porque no contienen los mismos elementos; eso es lo que significa que dos conjuntos en ZFC sean igual ) aunque estén en biyección entre sí. Esta distinción puede hacer tropezar a los incautos si no tienen cuidado.
(Mi convicción personal es que, en primer lugar, nunca se debería permitir plantear la pregunta de si dos conjuntos desnudos son iguales. Básicamente, nunca es la pregunta que se quiere hacer en realidad).
En general es una pregunta complicada. Por ejemplo, ¿el número natural 2 es igual al número real 2? Como conjuntos, no son iguales. Pero como números, todo el mundo los consideraría iguales. Pero entonces, ¿qué es un número? En cuanto intentas responder a esta pregunta, te metes en la madriguera del conejo y en la teoría de las categorías y la filosofía.
Barry Mazur escribió un famoso ensayo sobre este tema, "¿Cuándo una cosa es igual a otra?". Lo encontrarás de interés.
http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf
Igual significa que dos entidades son la misma entidad; equivalente significa que dos entidades tienen el mismo EFECTO, en algún sentido. Es decir, cuando dos cosas son iguales en algún sentido específico, pero no idénticas, se dice que son equivalentes. (Idéntico no es realmente un término matemático, es una palabra inglesa utilizada para transmitir la idea de igualdad exacta).
Ver http://mathforum.org/library/drmath/view/73189.html o http://www.differencebetween.com/difference-between-equal-and-vs-equivalent/ para una explicación en palabras.
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