Distribución conjunta de dos variables aleatorias gamma

Question

Este problema me deja perplejo.

Dadas dos variables $X_1$ y $X_2$ tal que $X_i \sim \mathrm{Gam}(a_i, b)$ halle la distribución conjunta de $X_1$ y $X_2$ .

Entiendo cómo proceder si las variables son independientes, pero el caso general es un poco confuso. ¡Gracias por vuestra ayuda!

Answer 1

OP notrockstar conoce la solución para el caso en que las variables aleatorias son independientes pero presumiblemente no puede utilizarla ya que una solución sin el independencia. Tal vez el OP ha publicado sólo una versión simplificada de la pregunta, y lo que se ha dejado fuera hace una solución posible. Por ejemplo, si $X_1$ y $X_2$ son los tiempos de la $k$ -y $(k+\ell)$ -en un proceso de Poisson de intensidad (tasa de llegada) $\lambda$ son variables aleatorias Gamma con parámetros de orden $k$ y $k+\ell$ respectivamente. Además, acondicionado en $X_1 = x_1$ , $X_2$ es un desplazados Variable aleatoria gamma con parámetro de orden $\ell$ Eso es, $X_2 = x_1 + Y$ donde $Y$ es una variable aleatoria Gamma con parámetro de orden $\ell$ . Así, $$\begin{align*} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) &= f_{X_2|X_1}(x_2|x_1)f_{X_1}(x_1)\\ &= \begin{cases} f_Y(x_2-x_1)f_{X_1}(x_1), & 0 < x_1 < x_2 < \infty,\\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases} \end{align*}$$

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Teniendo en cuenta la información adicional proporcionada por la OP de que lo que realmente se busca es la distribución conjunta de $Y_1 = X_1 + X_2$ y $Y_2 = \frac{X_1}{X_1+X_2}$ tal vez el problema se plantea como simulacro de transformación de variables: ¿se puede expresar la densidad conjunta $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)$ en términos de la densidad conjunta $f_{X_1,X_2}(\cdot,\cdot)$ como $J(y_1,y_2)f_{X_1,X_2}(g_1(y_1,y_), g_2(y_1, y_2))$ con la Gamma como distracciones, o simplemente como indicios de que $X_1, X_2 \in (0, \infty)$ para ver si los alumnos pueden deducir que $Y_2 \in (0,1)$ .

Este problema tiene fácil solución, ya que es fácil invertir la transformación, hallar la jacobiana, etc. Al final podría decir algo como "Si $X_1$ , $X_2$ son supuesto ser independientes (esto es no indicado en el problema planteado) aleatorio con distribuciones Gamma, entonces la densidad conjunta $f_{X_1,X_2}(\cdot,\cdot)$ factores en el producto de las densidades marginales, y en este caso, $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)$ es igual a " $\cdots$ " añadiendo posiblemente que $Y_1$ y $Y_2$ son obviamente independientes si lo son (yo no creo que lo sean pero estoy dispuesto a soportar una prueba de que lo son), o dando sus pdfs marginales también, etc.

En resumen, $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)$ c términos de la densidad conjunta $f_{X_1,X_2}(\cdot,\cdot)$ sin conocer la forma exacta de $f_{X_1,X_2}$ o el densidades marginales de $X_1$ y $X_2$ . T $X_1$ , $X_2$ a para decir explícitamente qué $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)$ es; la Gammaidad o independencia de $X_1$ y $X_2$ i o utilizado en absoluto en el trabajo anterior, y de hecho sirve cálculos sin arrojar mucha luz sobre el asunto. sin arrojar mucha luz sobre el asunto.

Answer 2

Como se ha dicho, el problema no tiene sentido, ¡porque no se puede hallar una distribución conjunta a partir de las distribuciones marginales! El único caso con sentido (como tarea) es suponer la independencia. En cuyo caso la densidad de la distribución conjunta es obviamente el producto de ambas densidades...