Podemos encontrar todos los números primos $p$ que podemos encontrar un número $a \neq 1$ que tiene el mismo orden en $\mathbb{Z}_p^{*}$ y $\mathbb{Z}_{p^2}^{*}$

Question

Se supone que hay un primer $p$, podemos definir $\mathbb{Z}_p^{*}$ como la multiplicación grupo de los enteros modulo $p$. Cada elemento en $\mathbb{Z}_p^{*}$, $\{1, 2, \ldots, p-1\}$, tiene orden finito. Mientras tanto, si tenemos en cuenta $\mathbb{Z}_{p^2}^{*}$ $a \in \{1, 2,\ldots, p-1\}$ también tiene orden finito en $\mathbb{Z}_{p^2}^{*}$, pero el orden de $a$ podría ser diferente del orden de las respectivas $a$$\mathbb{Z}_p^{*}$.

El problema es que, podemos encontrar todos los primos $p$ que no es un número $a \in \{2, \ldots, p-1\}$ que el orden de las $a$ $\mathbb{Z}_p^{*}$ es el mismo que el orden de $a$$\mathbb{Z}_{p^2}^{*}$?

Edit: $a = 1$ definitivamente cumple la condición para todos los números primos $p$, por lo que debemos considerar si hay otro que no sea trivial uno que se ajusta a la propiedad.

Answer 1

Los primos que desea aparecen en OEIS/A134307. Los primeros 20 son $$ 11, 29, 37, 43, 59, 71, 79, 97, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 163, 181, 191, 197, 199 $

No se sabe mucho acerca de ellos. Heurísticamente, la densidad de estos primos es $1 - \dfrac1e \approx 0.632$.