Demostrar que $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ no son isomorfos como grupos

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Demostrar que $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ son no isomorfos como grupos.

Aquí está mi intento de solución:

Si $\mathbb{Z} \cong \mathbb{Q}$, entonces debe existir un bijective homomorphism $\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$. Considere la posibilidad de $\varphi(x) = x$. Claramente, este es un homomorphism como es el mapa de identidad. Por otra parte, también es claramente inyectiva. Sin embargo, no logra ser surjective ya que existen elementos de $\mathbb{Q}$ que no están asignados a por $\varphi$ (como $3/2$ o $1/4$). Por lo tanto, desde el $\varphi$ es un inyectiva homomorphism, pero no surjective, vemos que no puede existir un bijection entre el$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\mathbb{Z} \not \cong \mathbb{Q}$.

Alguien podría crítica de esta solución? Estoy en el camino correcto?

Answer 1

La solución es incorrecta. Han demostrado que un homomorfismo determinado no es un isomorfismo.

Para mostrar que no son isomorfos necesita mostrar que no hay ninguna posible isomorfismo alguno.

Sugerencia: Uno de estos grupos es cíclico.

Answer 2

La solución demuestra que no es inyectiva, pero no surjective homomorphism de $\mathbb Z\rightarrow \mathbb Q$. Esta no es la declaración que usted desea probar - que ciertamente no es prueba de que $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ son no isomorfos, porque puedo decir lo mismo acerca de $f(x)=x+x$ asignación de $\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ -, pero que ciertamente no significa que $\mathbb Z$ $\mathbb Z$ son no isomorfos (porque obviamente son).

Una buena solución más sencilla sería aviso no hay ningún elemento $x$ $\mathbb Z$ tal que $x+x=1$, pero para cada $y$$\mathbb Q$, hay un $x$ tal que $x+x=y$. Los grupos por lo tanto no son isomorfos.

Answer 3

Otro pensamiento: deja que $\phi:\Bbb Z\to\Bbb Q$ ser un homomorfismo y que $\phi(1)=a$. Porque, $\Bbb Z$ es cíclico, $\phi$ está totalmente determinado.

$$\phi(n)=na$$

Es fácil ahora demostrar que $\phi$ no es sobreyectiva.

Answer 4

$\mathbb Q$ tiene un subgrupo $N:=\mathbb{Z}$ tal que $\mathbb{Q}/N$ es infinita