Paradoja de la transformación de Lorentz

Question

Tengo que resolver un sencillo ejercicio sobre la relatividad especial cuando algo me llegó a la conclusión de que no se derrame cerebral con mi intuición.

La tarea-problema

El problema estaba en que dos personas que Sam y Leyla en un marco de referencia $S'$ que se mueve hacia la derecha en relación a otro marco de referencia $S$ en reposo con una velocidad de $0.6c$ ($c = $ velocidad de la luz). Ahora otra persona Adam se ve desde el marco de referencia $S$ a Sam y Layla que están de pie $1.8 \cdot 10^{12}$m de distancia y lanzar una pelota (Leyla lanza a Sam) a una velocidad de $0.8c$ en la dirección opuesta a la del movimiento de la imagen de referencia $S'$ están en (lo que en realidad lo $-0.8c$).

Ya he calculado varias cosas. Así que yo sé que la distancia de Adán en el marco de referencia $S$ $1.44 \cdot 10^{12}$m y la velocidad de la pelota es $0.385c$. Tanto tiempo de dilatación y transformaciones de Lorenz que se involucró para estos cálculos.

La pregunta que está causando el problema real

Ahora tengo que calcular el tiempo necesario para que la pelota llegar a Sam (el que está de pie a la izquierda para coger la pelota) en los ojos de Adán.

Yo pensaba que la diferencia de tiempo puede ser calculado con la dilatación del tiempo, sabiendo que la diferencia de tiempo en $S'$ $7500$s, pero esto no conduce a la solución correcta (resultado fue 9,375 s). También traté de calcular la diferencia de tiempo con el hecho de que sé que la velocidad de la bola y la distancia relativa a Adán, pero este no da el resultado correcto (resultado fue 12,468 s) y aquí es donde mi intuición rompe, porque esto significa que la pelota parece necesitar menos tiempo para llegar a Sam que el tiempo que se necesita para cruzar $1.44 \cdot 10^{12}$m si se tiene una velocidad de $0.385c$.

La respuesta correcta debe ser récord de 4.875 s y puede ser calculado con Lorentz-transformaciones.

Mi pregunta específica

¿Por qué debería ser la única respuesta correcta y cuáles son los errores en mis razonamientos, por favor?

Answer 1

Así que yo sé que la distancia de Adán en el marco de referencia S es de 1,44⋅1012m y la velocidad de la pelota es 0.385 c

Esto es cierto.

aquí es donde mi intuición rompe, porque esto significa que la pelota parece necesitan menos tiempo para llegar a Sam que el tiempo que se necesita para cruzar 1.44⋅1012m si se tiene una velocidad de 0.385 c.

Que no tienen que cruzar $1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$ según Adam.

Recuerde que de acuerdo a Adán, durante el tiempo que la pelota se desplaza hacia la izquierda en $0.385c$, Sam viaja hacia la derecha a $0.6c$; la pelota no alcanza la totalidad de la separación inicial de la distancia antes de llegar a Sam.

Uno sólo tiene que establecer la relación

$$\left(0.6 + 0.385\right) c\Delta t = 1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$$

para encontrar el tiempo de vuelo de acuerdo a Adán para ser

$$\Delta t = 4875\; \mathrm s$$

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pero, ¿por qué es el momento de la dilatación de la fórmula no es válida en este caso?

La dilatación del tiempo de la fórmula es válida en este caso si se lo aplica correctamente. La fórmula de la dilatación del tiempo se relaciona coordinar el tiempo adecuado de tiempo (el tiempo transcurrido de acuerdo a un solo reloj).

En este caso, el momento adecuado es el tiempo transcurrido de acuerdo a la bola del reloj. Este es un invariante, es decir, Adán, Sam, y Leyla está de acuerdo en que el tiempo transcurrido de acuerdo a la pelota.

De acuerdo a la fórmula de la dilatación del tiempo, el tiempo transcurrido de acuerdo a la bola del reloj es

$$\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_v}$$

Desde $\Delta \tau$ es invariante, entonces tenemos

$$\frac{\Delta t'}{\gamma_{0.8c}} = \Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_{0.385c}}$$

o

$$\Delta t = \frac{\gamma_{0.385c}}{\gamma_{0.8c}}\Delta t' = \frac{1.0835}{1.6667}7500 \; \mathrm s = 4875\; \mathrm s$$

la dilatación del tiempo se establece que los relojes en movimiento marcos de referencia debe ejecutar más lento y por lo tanto medir intervalos más cortos

Eso es correcto; si uno calcula el tiempo transcurrido de acuerdo a la pelota, de hecho es menor que transcurrido coordinación del tiempo:

$$\Delta \tau = 4500 \; \mathrm s$$

Answer 2

Veo que usted ha aceptado Alfred respuesta, pero para el registro es muy riesgoso para responder a preguntas como esta (especialmente en un examen) mediante el tiempo de dilatación/contracción de longitud fórmulas y agitando los factores de $\gamma$ alrededor. La forma en que el examinador le estará esperando para hacer uso de la transformación de Lorentz, y la pregunta que generalmente han sido diseñados con esto en mente.

En este caso, el primer paso es dibujar la geometría en el marco del resto de Layla y Sam. Se parece a:

Estamos tomando Layla y Sam marco como el resto de la trama así que he llamado a esta $S$. En este marco de Layla y Sam están separados por una distancia $d$ ($1.8 \times 10^{12}$m) y Layla le lanza la pelota con una velocidad $u$ ($0.8c$). Para que la bola llegue a Sam en $(t = d/u, x = d)$. Para responder a la pregunta que acaba de transformar estos dos eventos en Adán marco de $S'$.

Como es habitual nos hacen la vida más fácil al elegir a nuestro coordenadas para los orígenes coinciden cuando Adán pasa Layla, y podemos sin pérdida de generalidad que tome esto como el momento en que Layla le lanza la pelota. Así que la pelota está en el espacio-tiempo del punto de $(0, 0)$$S$$S'$.

Ahora transformamos el punto de $(d/u, d)$$S$$S'$. En realidad sólo necesitamos $t'$ debido a que la pregunta es cuando Sam agarra la pelota, no se donde. Así que acaba de conectar a nuestros números en la transformación de Lorentz para el tiempo:

$$\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) \\ &= \gamma \left( \frac{d}{u} - \frac{vd}{c^2} \right) \end{align}$$

Simplemente enchufe en los valores de $u$, $d$ y $v$, y verás el resultado es 4875 segundos.

No puedo enfatizar lo suficiente lo peligroso que es utilizar la fórmula de la dilatación del tiempo a menos que usted realmente entender lo que está haciendo. Está bien para los más experimentados, los físicos como Alfred, pero nadie empieza de esa manera, y su confusión con Alfred respuesta ilustra mi punto. Por el contrario, el uso de la transformación de Lorentz como he demostrado es claro y sencillo. El único difícil es ser claro acerca de cuáles son los eventos que usted necesita para elegir.

Sermón!