¿Se puede simplificar$A^{T}(AA^{T})^{-1}A$?

Question

Permita que$A$ sea$m\times n$ ($m<n$) matriz real con entradas totalmente positivas y$\text{Rank}(A)=m$. Por lo tanto,$(AA^{T})^{-1}$ es un$m\times m$ simétrico$M$ - matriz, ya que$AA^{T}$ no es negativo y está definido como positivo.

Creo que$A^{T}(AA^{T})^{-1}A$ se puede simplificar a una forma simple debido a su estructura especial, pero no sé cómo hacerlo. Intenté usar un pseudo inverso y la descomposición de Cholesky pero lo hicieron más complejo.

Gracias.

Answer 1

No, no puedes simplificar esto, hasta donde yo sé. (Estoy trabajando con estas cosas a diario)

La matriz$P = A^T(AA^T)^{-1}A$ es un proyector, que se proyecta en la imagen de$A^T$, porque contiene \begin{align*} P^2 &= P \\ PA^T &= A^T. \end {align *}

Lo siento.