Integrando $\int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx$

Question

$$\int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx$$

No puedo encontrar una solución para esta tarea, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Pista. Puede escribir $$\begin {align} \int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx&= \int_ {-3}^0 \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx+ \int_0 ^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx \\\\ &= \int_0 ^3 \frac {x^8}{1+e^{-2x}}dx+ \int_0 ^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx \\\\ &= \int_0 ^3 \frac {e^{2x}x^8}{1+e^{2x}}dx+ \int_0 ^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx \\\\ &= \int_0 ^3x^8dx \end {align}$$ y puede concluir fácilmente.

Answer 2

La respuesta de @OlivierOloa presenta un truco realmente genial y me gustaría añadir alguna información al respecto. Esto podría ayudar a aplicar esta técnica a expresiones similares.

Lo siguiente es cierto. Si la integral tiene la forma:

\begin {alineado*} \int_ {\a}{\b} \frac {p(x)}{1+q(x)} {\a6} {\a6} {\a6} \end {alineado*}

con

• $p(x)$ es un incluso función, es decir $p(x)=p(-x)$

• $q(x)q(-x) = 1$

entonces

\begin {alineado*} \int_ {\a}{\b} \frac {p(x)}{1+q(x)}\,dx= \frac {1}{2} \int_ {\a} {\a} {\a}p(x)}, dx \end {alineado*}

A continuación se presenta un razonamiento. Pero primero revisemos nuestro ejemplo.

La integral actual es simétrico alrededor de $x=0$

\begin {alineado*} \int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}} \end {alineado*}

con una función uniforme $p(x)=x^8$ y una función $q(x)=e^{-2x}$ con \begin {alineado*} q(x)q(-x)=e^{-2x}e^{2x}=1 \end {alineado*}

Ahora recuerda que cada función $f(x)$ puede escribirse de manera única como la suma de una función impar $f_o(x)$ y de una función uniforme $f_e(x)$ ya que \begin {alineado*} f(x)&=f_o(x)+f_e(x) \\ f_o(x)&= \frac {1}{2} \left (f(x)-f(-x) \right ) \\ f_e(x)&= \frac {1}{2} \left (f(x)+f(-x) \right ) \end {alineado*}

Vamos a definir

\begin {alineado*} f(x)= \frac {p(x)}{1+q(x)} \end {alineado*} con $f_e(x)$ es parejo y $f_o(x)$ es la parte de impar.

Ya que la integral es simétrico alrededor de $x=0$ la parte impar se desvanece y obtenemos

\begin {alineado*} \int_ {\a}{\b} {\b1}f(x)}, dx&={\b} \int_ {-a}}{a}f_e(x)\\ ~ - dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {\a}{\b} \left (f(x)+f(-x) \right )\N-,dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {\a}{\b} \left ( \frac {p(x)}{1+q(x)}+ \frac {p(-x)}{1+q(-x)} \right )\N-,dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {-a}^{a}p(x) \frac {1+q(-x)+1+q(x)}{1+q(x)+q(-x)+q(x)q(-x)} \tag {\a6},dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {-a}^{a}p(x) \frac {2+q(x)+q(-x)}{2+q(x)+q(-x)} \tag {\a6},dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {\a} {\a} {\a}p(x)}, dx \end {alineado*}

En (1) usamos el hecho de que $p(x)$ es parejo y en (2) usamos $q(x)q(-x)=1$ .

En la situación actual obtenemos \begin {alineado*} \int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{-2x}}\,dx&= \frac {1}{2} \int_ {-3}^{3} \left ( \frac {x^8}{1+e^{-2x}}+ \frac {x^8}{1+e^{2x}} \right )\N-,dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {-3}^{3}x^8 \frac {1+e^{2x}+1+e^{-2x}}{1+e^{-2x}+e^{2x}+e^{-2x}e^{2x}}\,dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ {-3}^{3}x^8 \frac {2+e^{-2x}+e^{2x}}{2+e^{-2x}+e^{2x}}\,dx \\ &= \frac {1}{2} \int_ \end {alineado*}

Nota: Esta técnica puede encontrarse, por ejemplo, en Dentro de Integrales interesantes escrito por P.J. Nahin.

Aplica esta técnica a la aparentemente complicado integral

\begin {alineado*} \int_ {-1}^{1} \frac { \cos (x)}{1+e^{(1/x)}}\,dx \end {alineado*}

que se convierte en fácil si conoces el truco.

Answer 3

Usando $\displaystyle\int_a ^bf(y)\ dy= \int_a ^bf(a+b-y)\ dy,$

$$I= \int_ {-a}^a \frac {x^{2n}}{1+e^{mx}}dx= \int_ {-a}^a \frac {(-a+a-x)^{2n}}{1+e^{m(-a+a-x)}}dx= \int_ {-a}^a \dfrac {x^{2n}e^{mx}}{1+e^{mx}}dx$$

$$I+I= \int_ {-a}^a \frac {x^{2n}}{1+e^{mx}}dx+ \int_ {-a}^a \dfrac {x^{2n}e^{mx}}{1+e^{mx}}dx= \int_ {-a}^ax^{2n}\ dx=?$$

Answer 4

Deje que $$\displaystyle I = \int_ {-3}^{3} \frac {x^8}{1+e^{2x}}dx................(1)\;,$$

Ahora deja $x=-t\;,$ Luego $dx = -dt$ y cambiando el límite, conseguimos

$$\displaystyle I = - \int_ {3}^{-3} \frac {t^8}{1+e^{-2t}}dt = \int_ {-3}^{3} \frac {t^8 \cdot e^{2t}}{1+e^{2t}}dt = \int_ {-3}^{3} \frac {x^{8} \cdot e^{2x}}{1+e^{2x}}dx$$

Así que $$\displaystyle I = \int_ {-3}^{3} \frac {x^{8} \cdot e^{2x}}{1+e^{2x}}dx.................(2)$$

Arriba hemos usado $$\displaystyle \bullet \int_ {a}^{b}f(x)dx = - \int_ {b}^{a}f(x)dx$$ y el usado $$\displaystyle \int_ {a}^{b}f(t)dt = \int_ {a}^{b}f(x)dx$$

Así que tenemos $$\displaystyle 2I = \int_ {-3}^{3} \frac {x^8 \cdot \left (1+e^{2x} \right )}{1+e^{2x}}dx = \int_ {-3}^{3}x^8dx = 2 \int_ {0}^{3}x^8dx = \frac {2 \cdot 3^9}{9}$$

Así que tenemos $$\displaystyle I = \int_ {-3}^{3} \frac {x^{8}}{1+e^{2x}}dx = 3^7$$