Joel tiene razón en que en parte es sólo una convención para escalar la curvatura gaussiana para que la curvatura de una esfera unitaria sea $1$ . Sin embargo, hay tres motivaciones naturales para esta escala, además de hacer coincidir 1 con 1 en el caso de una esfera.
En primer lugar, Gauss definió su curvatura como el producto de las curvaturas extrínsecas de una superficie en $\mathbb{R}^3$ . Así que hay un coeficiente de 1 en esta fórmula natural.
En segundo lugar, la esfera unitaria tiene la propiedad de que la desviación del postulado de las paralelas de Euclides tiene un factor de 1. En otras palabras, el área $A$ de un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ es $\alpha + \beta + \gamma - \pi$ . En general, si se tiene un triángulo muy pequeño con área $A$ en un punto de curvatura local $K$ su desviación angular es $KA$ a primer orden. Este factor de 1 conduce a un factor de $2\pi$ en el teorema de Gauss-Bonnet, que la integral de la curvatura gaussiana es $2\pi \chi$ .
En tercer lugar, la curvatura gaussiana es la relación entre el tensor de curvatura de Ricci y la métrica, y es también la mitad de la curvatura escalar.
Al comparar estas fórmulas, las escalas más razonables para la curvatura gaussiana son la elección estándar, la elección estándar multiplicada por 2 para ajustarse a la curvatura escalar, y la elección estándar dividida por $2\pi$ para que coincida con el teorema de Gauss-Bonnet. Las fórmulas de volumen y área justifican en cierta medida un 1/3 o un 1/12 o similares, pero se consideran escalas menos fundamentales.
(Una ironía del debate es que $\pi$ es la mitad del valor más importante en trigonometría).
También se dan las relaciones de volumen y superficie en Wikipedia en $n$ dimensiones. También vale la pena mirar el teorema de Gauss-Bonnet generalizado en $2n$ dimensiones.
