Caracterización de las funciones continuas de $\mathbb{N}$ con la topología cofinita a $\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $\mathbb{N}$ tienen la topología cofinita, y dejemos que $\mathbb{R}$ tienen la topología habitual. Entonces, ¿qué funciones de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{R}$ son continuas?

Creo que las funciones constantes serían continuas. El rango de cualquier función de este tipo (no constante) tiene que ser contable. Se puede elegir un intervalo abierto alrededor de uno de $f(x')$ , $x' \in \mathbb{N}$ de tal manera que ningún otro $f(x)$ para $x \in \mathbb{N}$ se encuentra en ese intervalo abierto. La inversa de este conjunto abierto bajo $f$ no sería abierto en topología cofinita siendo un conjunto finito. Por lo tanto, las funciones constantes son las únicas funciones continuas.

No estoy seguro de que mi argumento sea correcto.

Answer 1

Tu argumento no funciona del todo, porque el rango podría ser un subconjunto finito de $\mathbb R$ que contiene al menos dos elementos. Entonces no hay garantía de que $f^{-1} (y)$ del particular $y = f(x')$ que ha elegido es no cofinanciado. Es importante, $f$ puede no ser uno a uno, lo que aparece para ser algo que usted está asumiendo.

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Una cosa importante que hay que recordar sobre $\mathbb R$ con la topología habitual es que es Hausdorff. Este es el hecho central importante para este problema. De hecho, para cualquier espacio infinito $X$ con la topología cofinita y cualquier espacio de Hausdorff $Y$ las únicas funciones continuas $f : X \to Y$ son constantes.

Prueba. Supongamos que $f : X \to Y$ es una función continua no constante. Entonces hay distintos $u,v \in Y$ en el rango de $f$ . Por Hausdorffness hay conjuntos abiertos disjuntos $U,V \subseteq Y$ con $u \in U$ y $v \in V$ . Por continuidad tanto $f^{-1}(U)$ y $f^{-1}(V)$ son abiertos y no vacíos, por lo que son cofinitos. Pero entonces la intersección $f^{-1} (U) \cap f^{-1} (V)$ debe ser no vacía, lo cual es imposible ya que $$f^{-1} (U) \cap f^{-1} (V) = f^{-1} ( U \cap V ) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset.$$

Answer 2

Un giro ligeramente diferente a la respuesta de Vow Lakes Forte:

Tenga en cuenta que $\mathbb{N}$ con la topología cofinita está conectada. Por tanto, su imagen bajo una función continua es conexa. Los subconjuntos conexos (no vacíos) de $\mathbb{R}$ son monotonos o intervalos. Como estos últimos son incontables, todo continuo $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ debe ser constante.