Los puntos reticulares en el cono real de algunos semigrupos son solo el cono entero de ese semigrupo.

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio en Fulton, el libro de variedades tóricas, y han reducido a la siguiente:

Deje $M$ ser un entramado de rango $n$$M \otimes \mathbb{R} = V$, e $S$ ser un finitely generado semigroup de $M$, de tal manera que las siguientes condiciones:

i) S es saturada. (Si $v \in M, n \in \mathbb{Z}_{> 0}$$nv \in S$,$v \in S$.)

ii) S genera M como un grupo.

A continuación, el entramado de puntos en el interior de la real de cono en $S$ son simplemente el entero de cono en $S$.

En otras palabras, dado un saturada semigroup $S=\langle v_1,\dots,v_k\rangle_{\mathbb{Z}_{\geq 0}}$$S=\langle v_1,\dots,v_k\rangle_{\mathbb{Z}} = M$,$\langle v_1,\dots,v_k\rangle_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\cap M = S$. Esto parece geométricamente obvio, pero no puedo encontrar una manera de demostrarlo.

Puedo probar el resultado si $\langle v_1,\dots,v_k\rangle_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\cap M=\langle v_1,\dots,v_k\rangle_{\mathbb{Q}_{\geq 0}}\cap M$ el uso de la saturatedness de $S$, el problema es que muestra que cualquier positivo real de la combinación lineal de las $v_i$ acostado en la red también puede ser escrito como una combinación racional.

Pensar acerca de las diferentes maneras de representar el mismo vector, vemos que la búsqueda de $r=(r_1,\dots,r_k)$ tal que $\sum r_iv_i = v$ es equivalente a decir que el $r$ es una solución para la ecuación de matriz:

$$\bigg(v_1 \dots v_k \bigg)x=v$$

Las soluciones de esta ecuación son un conjunto vacío, de un subespacio afín de $\mathbb{R}^k$. Pero si $v$ es en la intersección estamos lookinh, sabemos que el espacio de la solución contiene un "positivo", de punto, es decir, un punto de $(\mathbb{R}_{\geq 0})^k$, y un "entero" de punto, es decir, un punto de $\mathbb{Z}^k$. Me gustaría usar esto de alguna manera para mostrar que también contiene un positivo punto racional, que es bastante fácil si el punto positivo radica en la estricta interior del conjunto de puntos positivos, pero parece que podría ser imposible en algunos ejemplos, como si el espacio de la solución es un afín línea tangente al conjunto de puntos positivos, así que no estoy seguro de si este enfoque de trabajo...

Answer 1

La pregunta que uno se hace (que es una variación sobre el tema de Gordan del lema) aparece exactamente (y con casi exactamente las mismas notaciones) como "a la inversa" parte de la proposición 1.1 en la página 3 en Tadao Oda Cuerpos Convexos y la Geometría Algebraica (Una Introducción a la Teoría de Variedades Tóricas) (Springer 1985).

El punto clave es que si $v$ pertenece al cono convexo $\rho$ generado por $v_1,\ldots,v_k$, entonces en realidad no se $n$ entre el $v_i$ (donde $n = \dim\langle v_1,\ldots,v_k\rangle_{\mathbb{R}}$), digamos w.l.o.g. $v_1,\ldots,v_n$, linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$, que en el hecho de $v$ pertenece al cono convexo $\rho'$ generado por $v_1,\ldots,v_n$. Este es el teorema de Carathéodory (la versión en Wikipedia no dice exactamente lo mismo, pero la prueba dado no funciona). Pero ahora los coeficientes $r_1,\ldots,r_n$ $v \in M\cap\rho'$ $v_1,\ldots,v_n$ se determina únicamente, así que la pregunta es trivial: son racionales porque $v \in M$ (e $v_1,\ldots,v_n$ generar $M\otimes\mathbb{Q}$ sobre los racionales) y no negativo debido a $v \in \rho'$. Y desde $S$ es saturada, podemos obtener entero no negativo de los coeficientes.

Edit: Tras OP comentario, permítanme explicar el argumento de por qué $v_1,\ldots,v_n$ generar $M\otimes\mathbb{Q}$. Están en $M\otimes\mathbb{Q}$ linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ (esto se deduce de la prueba del teorema de Carathéodory, aunque la gente suele olvidarse de poner esto en la declaración por alguna razón); así, en particular, son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. Pero $M\otimes\mathbb{Q}$ tiene dimensión $n$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial (debido a que el rango de $M$ libre $\mathbb{Z}$-módulo es el rango de $M\otimes\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial o de $M\otimes\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial, y que es lo que estamos llamando $n$). Por lo que son una base de $M\otimes\mathbb{Q}$. Esto explica por qué los coeficientes de $v$ $v_1,\ldots,v_n$ son únicos (y racional).