Mostrar$\pmatrix{A & B\\ C & I}$ es no singular dado que$A-BC$ no es unular.

Question

Estoy teniendo algunos problemas para mostrar que el bloque de la matriz $$D = \pmatrix{A & B\\ C & I}$$ is nonsingular, given that $A-BC$ es nonsingular.

He conseguido cerrar con el siguiente diciendo que vamos a $$T = \pmatrix{(A-BC)^{-1} & -B(A-BC)^{-1}\\-C(A-BC)^{-1} & A(A-BC)^{-1}}.$$ (Basically, I'm trying to extend the formula for the inverse of a $2\times2$ real de la matriz a de bloque de matrices.)

A continuación, $$\begin{align}DT &= \pmatrix{A & B\\ C & I}\pmatrix{(A-BC)^{-1} & -B(A-BC)^{-1}\\-C(A-BC)^{-1} & A(A-BC)^{-1}} \\ &= \pmatrix{A(A-BC)^{-1}-BC(A-BC)^{-1} & -AB(A-BC)^{-1}+BA(A-BC)^{-1}\\ C(A-BC)^{-1}-C(A-BC)^{-1} & -CB(A-BC)^{-1} + A(A-BC)^{-1}}\\ &=\pmatrix{(A-BC)(A-BC)^{-1} & (BA - AB)(A-BC)^{-1}\\ O & (A - BC)(A-BC)^{-1}}\\ &=\pmatrix{I & (BA - AB)(A-BC)^{-1}\\ O & I}.\end{align}$$

Me las arreglo para conseguir casi todo, excepto la parte superior derecha del bloque. Quiero ser $O$, pero no estoy seguro de cuál es la información que tiene que lo hace igual $O$. No necesariamente sé que $A$ $B$ conmutan, es decir, $AB = BA$, lo que implicaría la parte superior derecha del bloque sería cero. ¿Puede alguien ver si he cometido un error? Si no hay ningún error, ¿alguien puede dar una pista sobre qué hacer para tratar y cero fuera de la parte superior derecha del bloque?

Answer 1

$$ \ pmatrix {I & -B \\ O & I} \ pmatrix {A & B \\ C & I} = \ pmatrix {A-BC & O \\ C & I}. $$ La primera matriz es claramente invertible. El último es iff$A-BC$ is.

Answer 2

Tenemos $$ \ pmatrix {A & B \\ C & I} \ pmatrix {I & 0 \\ - C & I} = \ pmatrix {A-BC & B \\ 0 & I} $$ y$$\text{det}\left(\pmatrix{A-BC&B\\0&I}\right)=det(A-BC)\neq0$ $

Answer 3

Fórmula determinante de matriz de bloques : si$D$ es invertible,$$ \det \pmatrix{A & B\cr C & D\cr} = \det(D) \det(A-BD^{-1} C)$ $ Tome$D=I$.

Answer 4

Curiosamente, esta pregunta puede ser contestada, sencillamente, de los primeros principios, sin referencia a los factores determinantes; nos necesita simplemente para mostrar que cualquier vector asignado a $0$ por la matriz

$ \mathscr M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & I \end{bmatrix} \tag 1$

sí es $0$ ; así que vamos a $\mathscr X$ ser un vector tal que

$\mathscr M \mathscr X = \begin{bmatrix} A & B \\ C & I \end{bmatrix}\mathscr X = 0. \tag 2$

Si el tamaño de $A$ $p$ y el tamaño de $I$$q$, entonces el tamaño de $\mathscr M$ $p + q$ mientras $B$$p \times q$$C$$q \times p$.

Entonces podemos escribir $\mathscr X$ en términos de dos vectores $\mathbf x$ $\mathbf y$ donde$\dim \mathbf x = p$$\dim \mathbf y = q$, así:

$\mathscr X = \begin{pmatrix} \mathbf x \\ \mathbf y \end{pmatrix}; \tag 3$

tenemos:

$\mathscr M \mathscr X = \begin{bmatrix} A & B \\ C & I \end{bmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf x \\ \mathbf y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\mathbf x + B\mathbf y \\ C\mathbf x + I\mathbf y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\mathbf x + B\mathbf y \\ C\mathbf x + \mathbf y \end{pmatrix}; \tag 4$

desde

$\mathscr M \mathscr X = 0, \tag 5$

hemos de (4) que

$A\mathbf x + B\mathbf y = 0, \tag 6$

y

$C\mathbf x + \mathbf y = 0, \tag 7$

de dónde

$A\mathbf x = -B\mathbf y \tag 8$

y

$C\mathbf x = -\mathbf y; \tag 9$

por lo tanto,

$A\mathbf x = -B\mathbf y = B(-\mathbf y) = B(C\mathbf x) = BC\mathbf x, \tag{10}$

o

$(A - BC)\mathbf x = 0; \tag{11}$

ya que estamos, dado que el $A - BC$ es nonsingular, llegamos a la conclusión de que

$\mathbf x = 0, \tag{12}$

y a partir de (9) que

$\mathbf y = -C\mathbf x = -C(0) = 0 \tag{13}$

así; por lo

$\mathscr X = 0; \tag{14}$

dado que la única solución es (2) (14), llegamos a la conclusión de que $\mathscr M$ es en sí mismo un nonsingular de la matriz.

Answer 5

Intentemos encontrar el inverso; entonces sea $$ E = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S\end {pmatrix} $$ Entonces $$ DE = \begin{pmatrix} A & B \\ C & I\end {pmatrix} \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S\end {pmatrix} = \begin{pmatrix} AP+BR & AQ+BS \\ CP+R & CQ+S\end {pmatrix} $$ Nosotros necesitar $R=-CP$; esto lleva a$AP-BCP=I$ que arroja$P=(A-BC)^{-1}$.

Luego necesitamos$S=-CQ+I$, entonces obtenemos $$ AQ + BS = AQ-BCQ + B = 0 $$ que es,$(A-BC)Q+B=0$ o $$ Q = - (A-BC) ^ {- 1 } B $$ En conclusión, el inverso es $$ \begin{pmatrix} (A-BC)^{-1} & -(A-BC)^{-1}B \\ -C(A-BC)^{-1} & I+C(A-BC)^{-1}B \end {pmatrix} $$