Pregunta relativa a una propiedad de las funciones polinómicas sobre $\Gamma:=\text{GL}_n(K)$ y el álgebra de Schur

Question

Estoy leyendo el libro de Green ''Polynomial Representations of GL_n. with an Appendix on Schensted Correspondence and Littelmann Paths''.

Considere el teorema 2.4b) parte (i) de la página 14:

Considere el mapa $e : K\Gamma \rightarrow S_K(n,r)$ se define como sigue: Para cada $g\in \Gamma$ definimos el elemento $e_g\in S_K(n,r)$ por $e_g(c):=c(g)$ para todos los $c\in A_K(n,r)$ . Ampliamos el mapa $g \mapsto e_g$ linealmente y obtener un mapa $e : K\Gamma \rightarrow S_K(n,r)$ que es un morfismo de $K$ -algebras. Cualquier función $f\in K^{\Gamma}$ tiene una extensión única a un mapa lineal $f : K\Gamma → K$ . Con esta convención, la imagen bajo $e$ de un elemento $\kappa=\sum \kappa_gg\in K\Gamma$ es ''evaluación en $\kappa$ ''; es decir $e(\kappa) : c \mapsto c(\kappa)$ para todos $c\in A_K(n,r)$ .

Pregunta: ¿Por qué es $e$ ¿subjetivo? Supongamos lo contrario. Entonces no sé, por qué existiría algún $0\neq c\in A_K(n,r)$ , de tal manera que $e_g(c)=c(g)=0\ \forall\ g\in \Gamma$ , si $\text{Im}(e)$ fuera un subespacio propio de $S_K(n,r)={A_K(n,r)}^{*}$ .

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La proposición es principalmente un resultado sobre espacios vectoriales de dimensión finita, y tiene muy poco que ver con el álgebra de Schur en sí. Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo fijo $K$ y que $A \subset V^*$ sea un subespacio propio. Entonces podemos elegir una base $\{v_1, \dots, v_n\}$ de $V$ tal que $v_1^*, \dots, v_m^*$ son la base de $A$ para $m = \dim A$ , donde el $v_i^*$ son los elementos duales $v_i^*(v_j) = \delta_{ij}$ . En particular, existe algún tipo de $v\in V$ tal que $f(v) = 0$ para todos $f\in A$ .

Por lo tanto, si $e(K\Gamma)$ es un subespacio propio de $S_K(n, r)$ , entonces podemos encontrar algún $f\in A_K(n, r)$ tal que $f(g) = 0$ para todos $g\in \Gamma$ . Pero $K$ es infinito, por lo que cualquier $f$ debe desaparecer.