Permita que$A_{(2n+1)\times(2n+1)}$ sea una matriz simétrica de Rank$2n$. Entonces, ¿$\operatorname{tr}A=0$ implica$\operatorname{tr}A^3=0$? Si no, ¿bajo qué condición?
Respuestas
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Arnaldo Nascimento
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Theo Bendit
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El hecho de que $\operatorname{Rank}(A) = 2n$ implica $\operatorname{Null}(A) = 1$, lo $0$ es un autovalor con multiplicidad $1$. Aparte de eso, los autovalores son libres de ir encima de otros valores distintos de cero, siempre que cumplan suma a $0$. Ciertamente, si $n = 1$, y luego los otros dos autovalores debe ser negativos de cada uno de los otros y que no sea cero, lo que nos da distintos valores y por lo tanto un diagonalisable de la matriz. Si $\lambda > 0$ es el autovalor positivo, se deduce por lo tanto que $$\operatorname{tr}(A^3) = 0^3 + \lambda^3 + (-\lambda)^3 = 0.$$ Cuando nos despojamos de la suposición de que $n = 1$, las cosas se complican. Incluso en (probablemente) el mejor caso donde $A$ es diagonalisable, las cosas comienzan a caer. Por ejemplo, $$A = \operatorname{diag}(0, 1, 2, 3, -6)$$ tiene un $0$ seguimiento y rango $4$, pero $$A^3 = \operatorname{diag}(0, 1, 8, 27, -216),$$ que tiene un rastro de $-180$.
Básicamente, usted necesita para navegar esta edición del llamado "Primer Sueño", donde la suma de poderes no es la potencia de la suma. La dirección fuera de diagonalisable, simétrica, normal, o incluso hacia defectuoso matrices no le ayudará en el final, como los autovalores todavía cubo, y eso es lo que están tratando de forzar a ser $0$.
Creo que la limitación de $n$$1$, o forzando a los valores propios a los valores específicos (como alguien sugirió, quizás $\lambda = \pm 1$ o, posiblemente, otras raíces de la unidad?) es su mejor apuesta para las condiciones suficientes, pero no creo que va a ser muy útil para cualquier cosa no trivial.
