Deje $m$ ser la medida definida en el conjunto semiring $\mathfrak{S}_m$ $m'$ de su extensión a la mínima anillo de $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$. He leído que $m'(A\triangle B)$ puede ser utilizado como una distancia en $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$.
Yo diría más bien que puede ser utilizado como una distancia en el cociente $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)/\sim$ donde identificamos $A\sim A'$ al $m'(A\triangle A')=0$ [EDITAR Mar 7'15: que es una relación de equivalencia, yo diría, agradeciendo a futuro ms responden para confirmar o refutar esta]: yo estoy en lo correcto?
También he leído, en la prueba de Kolmogorov-Fomin de los Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional, que, con esa medida, el espacio de $\mathfrak{M}$ de Lebesgue medibles conjuntos, donde $A$ $A'$ se identifica al $\mu(A\triangle A')=0$, es muy completa, pero no veo por qué, si $\{A_n\}\subset\mathfrak{M}$ es una secuencia tal que$$\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\mathbb{N}^+:\forall n,m\geq N\quad\mu(A_n\triangle A_m)<\varepsilon$$then a measurable $Un$ must exists such that $\forall\varepsilon>0\quad\existe N\in\mathbb{N}^+:\forall n\geq N\quad\mu(A_n\triángulo)<\varepsilon$.
EDIT: Cuidado de Oso, a quien agradezco muy mucho, ha proporcionado una prueba para el caso de que $\bigcup_n A_n\in\mathfrak{M}$. De acuerdo a la prueba de Kolmogorov-Fomin, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ es Lebesgue-medible sólo bajo la condición restrictiva que $\exists K\geq 0:\forall N\in\mathbb{N}^+\quad\mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)\leq K$ (problema 5 (b) aquí). ¿Alguien puede explicar si el lema es válida en cualquier caso?
I $\infty$-ly gracias a todos por responder!!!
