Encontrar las 'raíces cúbicas' de una permutación

Question

¿Cómo encuentro tres elementos$\sigma \in S_9$ de modo que$\sigma^3=(157)(283)(469)$? Dado que el tres$3$ - ciclos en$\sigma^3$ son disjuntos,$|\sigma^3|=\operatorname{lcm}(3,3,3)=3$. Entonces como$(\sigma^3)^3=\sigma^9=e$ tenemos ese$|\sigma|=9$, entonces$\sigma$ es un$9$ - ciclo. Eso es todo lo que puedo decir.

¿Cómo encontramos de manera inteligente / metódica los elementos deseados? Un enfoque general es bienvenido también.

Gracias.

Answer 1

Podemos suponer$\sigma=(1ab5cd7ef)$. Ahora$2$ puede ser cualquiera de$a,b,c,d,e,f$. Digamos $a=2$. Entonces nosotros tenemos $\sigma=(12b58d73f)$. Ahora$4$ puede ser cualquiera de$b,d,f$.

Answer 2

Sugerencia: uno es$\sigma=(124\,586\,739)$.