Prueba geométrica de una identidad trigonométrica en $\cos t \cos u\cos v$

Question

Consideremos la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier conjunto de ángulos $u,v,t$ :

$$\cos t\cos u\cos v =\frac14\left[\cos(t + u + v)+\cos(t + u - v)+\cos(u+v-t)+\cos(v + t - u)\right]$$

Esta identidad y su derivación han aparecido previamente como pregunta en este sitio (aunque a la versión citada en la pregunta le falta un término).

Pero las soluciones a la pregunta vinculada, aunque válidas, eran todas de naturaleza algebraica. ¿Existe una geométrico ¿prueba/demostración de la identidad anterior? También me conformaría con una prueba sin palabras de un caso especial, por ejemplo $u=u+v$ , $u+v+t=\pi$ , $u+v+t=2\pi$ etc.

Answer 1

La idea clave es dejar que $P_1$ y $P_2$ sean puntos de un círculo $C$ de radio $r$ con centro $O$ , $P_3:=(P_1+P_2)/2$ sea el punto medio, y $P_4$ en el círculo $C$ estar en el rayo desde el centro $O$ a través del punto $P_3$ . Dado un sistema de coordenadas cartesianas exprese $$ P_1=(r\cos(u+v),r\sin(u+v)), P_2=(r\cos(u-v),r\sin(u-v)),$$ $$P_3=\cos(v)P_4,\; P_4=(r\cos u,r\sin u),.$$ La razón por la que $P_3=\cos(v)P_4$ es que están en la misma semirrecta desde el origen y girando los puntos y/o el sistema de coordenadas haciendo $u=0$ da $P_3=(r\cos(v),0)$ y $P_4=(r,0)$ .

Los siguientes pasos se pueden realizar de forma completamente geométrica, pero los escribo de forma algebraica únicamente por comodidad.Así, fijando $r=1$ y utilizando las primeras coordenadas de los puntos debemos tener $$(\cos(u+v)+\cos(u-v))/2=\cos(v)\cos(u)$$ y de forma similar para las segundas coordenadas $$(\sin(u+v)+\sin(u-v))/2=\cos(v)\sin(u).$$

Ahora aplique el primer resultado con $u$ sustituido por $u+t$ y luego también $u-t$ dando

$$(\cos(u+t+v)+\cos(u+t-v))/2=\cos(v)\cos(u+t)$$ y $$(\cos(u-t+v)+\cos(u-t-v))/2=\cos(v)\cos(u-t).$$ Al promediar las dos ecuaciones se obtiene la identidad trigonométrica deseada.