¿Cómo demostró Euler$\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}$?

Question

Sin duda,$\frac{d}{dx}e^{ax}$ es$ae^{ax}$ cuando$a$ es un número real. Sin embargo, no significa que$\frac{d}{dx}e^{ax}$ es$ae^{ax}$ cuando$a$ es un número complejo, creo. si no lo prueba, la fórmula de Euler no es una fórmula sino una definición de$e^{ix}$. Por favor dígame si la fórmula de Euler es una fórmula o una definición. Además, quiero saber si Euler pensó esta ecuación como una fórmula o una definición cuando descubrió esto.

Answer 1

Usó su propia fórmula, supongo, y aplicó los derivados habituales de las funciones trigonométricas:

ps

Answer 2

Su pregunta depende de la definición de símbolo $e^{ix} $. Un enfoque consiste en usar el poder de la serie para $e^{z} $. El uso de este uno puede probar fácilmente que el derivado de la fórmula en cuestión. Otro método es utilizar la definición $$e^{ix} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^{n}$$ and then establish that $e^{ix} =\cos x+i\sin x$ so that the derivative formula is almost obvious. A third and more trivial approach is to define the symbol $e^{ix} $ by the expression $\cos x+i\sin x$ y, a continuación, como antes el resultado es obvio.

Mi conjetura es que Euler utiliza la serie infinita para $e^{z} $ ya que es más sencillo, pero no trivial. Pero él podría haber utilizado la serie de Taylor para $\sin, \cos $, para llegar a la fórmula $\cos x +i\sin x=e^{ix} $, lo que nos conduce entonces a la derivada de la fórmula.