En la manera de evaluar $\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+2\sin^{2}x}$.

Question

Evaluar %#% $ #%

Mi enfoque $$\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+2\sin^2x}$ $ $$\Longrightarrow\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+2\sin^{2}x}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^{2}x}{1+3\tan^{2}x}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\left[\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\tan x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ está definido en $\tan x$.

Por lo que necesitará resolver $\dfrac{\pi}{2}$$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}$. No sé cómo resolver.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x \to \frac{\pi}{2}$, $\sqrt{3}\tan(x) \to \infty$, por lo tanto $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$