Como dice el Titulo necesito para racionalizar la fracción: $\frac{1}{9\sqrt[3]{9}-3\sqrt[3]{3}-27}$. Escribí el denominador como: $\sqrt[3]{9^4}-\sqrt[3]{9^2}-3^3$ pero no sé qué hacer después. ¿Me puedes ayudar?
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Deje $x=3^\frac13$, la fracción se convierte en $$-\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{x^5-x^4+1}$$ Lo que necesitamos es multiplicar numerador y denominador con algunos polinomio de $x$ a fin de dejar sólo a los términos con exponentes divisible por $3$ en el denominador. ¿Cómo podemos encontrar el polinomio?
La respuesta es simple: encontrar mantuvo al dividir un polinomio por $x^5-x^4+1$ y compruebe si podemos obtener dicho polinomio. Tal vez es confuso, aquí es un ejemplo.
Vamos a empezar con $x^6+ax^3+b$. Supongamos que queremos multiplicar $x^5-x^4+1$ con algo para obtener el $x^6+ax^3+1$ (porque se anulan todas las raíces cúbicas). Aquí $a,b$ son constantes. Así, el resto de la división es $$x^4+ax^3-x+b-1$$ A continuación, compruebe si podemos eligió $a,b$ de tal forma que este resto $0$. Si podemos, entonces hemos terminado. De lo contrario, marque la siguiente polinomio $x^9+ax^6+bx^3+c$. El ramainder es ahora $$a x^4+(-a-1) x-a+(b-1) x^3+c-x^2-1$$ Puede elegimos algunos $a,b,c$ para hacer esto $0$? No, porque el $a$ debe $0$ a cancelar $x^4$, pero al mismo tiempo debe ser $-1$ a cancelar $x$. Así, continuar con la comprobación de polinomios. x^12+ax^9+bx^6+cx^3+d es el próximo que queremos comprobar. Aquí está el resto $$x (-a-b+1)+x^3 (-a+c-1)-a x^2-a+(b-3) x^4-b+d+2$$ Lo que tenemos es básicamente un sistema de ecuaciones $$a+b=1\\a-c=-1\\-a=0\\b-3=0\\a-b-d=2$$ Este sistema de ecuaciones no tiene solución. Vamos a continuar. El resto de las titulaciones $15$ $$x (a-b-c+4)+x^3 (-a-b+d+2)+x^4 (-3 a+c-3)+2 a+(3-b) x^2-b-c+e+4$$ Buenas noticias! Este sistema tiene una solución! Tenemos $$a=-1\\b=3\\c=0\\d=0\\e=1$$ que corresponde al polinomio $$x^{15} - x^{12} + 3 x^9 + 1$$ y queremos multiplicar el denominador con $$1 + x^4 - x^5 + x^8 + x^9 + x^{10}$$
Solución
Como se explicó anteriormente, nuestro polinomio es $$1 + x^4 - x^5 + x^8 + x^9 + x^{10}$$ Pero, aviso de la $\frac1{x^4}$, por lo que debemos multiplicar nuestro polinomio con $x^2$.
Verificación
Mathematica puede comprobar que esto funciona en realidad
Anthony Shaw
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Calcular el polinomio mínimo de $\alpha=-27-3\cdot3^{1/3}+9\cdot3^{2/3}$: $$\begin{align} \alpha&=-27-3\cdot3^{1/3}+9\cdot3^{2/3}\tag1\\ \alpha^2&=567+405\cdot3^{1/3}-477\cdot3^{2/3}\tag2\\ \alpha^3&=-81-25515\cdot3^{1/3}+16767\cdot3^{2/3}\tag3 \end {Alinee el} $$ desde $(-3,405,-25515)\times(9,-477,16767)=-2214(1,81,2430)$, obtenemos que \alpha^3+81\alpha^2+2430\alpha+19764=0\tag4 $$ $$ por lo tanto, dividiendo el $(4)$ $19764\alpha$, obtener $$\begin{align} \frac1\alpha &=-\frac{\alpha^2+81\alpha+2430}{19764}\\ &=-\frac{45+9\cdot3^{1/3}+14\cdot3^{2/3}}{1098}\tag5 \end {Alinee el} $$
