Representación de los elementos de palabras en grupos.

Question

Considere la posibilidad de un grupo finito $G$ orden $n$, que es generado por dos elementos $a,b$.

Me gustaría encontrar alguna buena límite superior $m$, de tal manera que para cualquier elemento $g \in G$ no es una expresión de $g$ por una palabra de cierta longitud más corto de $m$. Por medio de la palabra, me refiero a una secuencia de símbolos en el alfabeto $\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$.

Claramente, esto no es cierto para los no-grupos finitos - para cualquier $j$, el grupo libre en $\{a,b\}$ tiene elementos que no se expresa por la palabra de longitud de menos de $j$.

Para conmutativa grupos de grupos finitos, la respuesta también es clara - cualquier elemento puede ser escrito como $a^ib^j$, y tanto $i,j$ están obligados por la orden de $n$.

Hay algunas "buenas" obligado para grupos finitos que son generadas por dos elementos?

Answer 1

Revisión de un grupo de $G$ y dos generadores $a$$b$. Para cualquier elemento $g \in G$ definimos su longitud $\mathrm{len}(g)$ a ser la longitud mínima de una palabra en $a$, $b$, $a^{-1}$ y $b^{-1}$ expresan $g$. Podemos definir la longitud de $G$ sí mismo para ser el máximo de la longitud de sus elementos. Observe que estas cantidades no sólo dependen $g$$G$, pero también en nuestra elección de los generadores.

Una fácil observación es que para cada $k \leq \mathrm{len}(G)$ hay un elemento $g \in G$, con una longitud exactamente $k$. De hecho, si $h \in G$ es un elemento de longitud máxima, se puede tomar una palabra que expresan $h$ de la longitud de la $\mathrm{len}(G)$. Por minimality cada subword de longitud $k$ de esta palabra da un elemento de longitud $k$.

Otro de fácil observación es que el $\mathrm{len}(g) = \mathrm{len}(g^{-1})$: a partir de una mínima expresión para $g$ podemos hacer una expresión para $g^{-1}$ por la inversión de las letras y de la conmutación de la otra, mostrando el $\mathrm{len}(g^{-1}) \leq \mathrm{len}(g)$, y la igualdad se sigue de la simetría.

Poner esto juntos y el uso de ese $g \neq g^{-1}$ si y sólo si $g$ ha pedido en menos de 3 y que la identidad de $G$ tiene una longitud de $0$, se obtiene el límite superior \begin{align*} \mathrm{len}(G) &\leq \#\{g \in G \textrm{ of order } 2\} + \frac{1}{2}\#\{g \in G \textrm{ of order }\geq 3\} \\ & = \frac{1}{2}(\#G -1) + \frac{1}{2}\#\{g \in G \textrm{ of order }2\} \end{align*} En términos de $m$ $n$ en su pregunta, esto da $m \leq n-1$. Si $n$ es impar, podemos hacerlo aún mejor, porque entonces el segundo término anterior se desvanece y obtenemos $m \leq (n-1)/2$ $n$ impar.

Para demostrar que estos límites superiores son bastante razonables, considere el grupo cíclico $C_n$ orden $n$, y deje $a$ ser un generador de este grupo y $b$ la identidad. A continuación, se muestra que el $\mathrm{len}(C_n) = n/2$ $n$ a y $\mathrm{len}(C_n) = (n-1)/2$ $n$ impares (para esta opción de generadores). Así, por $n$ impar, esto ya demuestra que $m = (n-1)/2$ exactamente, mientras que para $n$ incluso tenemos $n/2 \leq m \leq n-1$.