¿SO(3) preservar el producto Cruz?

Question

Que $g\in SO(3)$ y $p,q\in\mathbb{R}^3$. Me preguntaba si es verdad %#% $ #%

No sé cómo comprobarlo. Creo que voy a utilizar en algún momento que se puede obtener la última fila $$g(p\times q)=gp\times gq$ $g_3$ $g$.

Pero supongo hay una más fácil probar que todo lo escrito.

Answer 1

Usted puede utilizar el producto triple escalar fórmula $r \cdot (p\times q)=\det(r,p,q)$ para probar que $$ gr \cdot (gp\times gq) = gr \cdot g(p\times q) \tag {1} $ ($=\det(r,p,q)$) para cualquier vector $r$. Ya que $g$ es invertible, si $(1)$ sostiene para cada % de vector $r$, debemos tener $gp\times gq=g(p\times q)$.

Answer 2

Dos maneras de ver más directamente:

• El producto cruz de dos vectores puede expresarse en términos de las normas de los vectores y el ángulo entre ellos, y las propiedades que se conservan por las rotaciones. (Actualización: Como mephistolotl se menciona en los comentarios, se necesita también el hecho de que las rotaciones de preservar la orientación. De lo contrario, obtendrá un vector de longitud correcta, pero diferente dirección).
• Numéricamente, usted necesita mostrar el $\epsilon_{ijk} O_{jl} O_{km} =O_{ip}\epsilon_{plm}$, lo que sigue a partir de la ortogonalidad y el hecho de que $\det O=1$.

Answer 3

Ya que tanto % de expresiones son lineales en cada una de la variables $g(p\times q)$ $g(p)\times g(q)$y $p,q$, basta para comprobar la igualdad de lo nueve casos $p,q=e_1,e_2,e_3$, es decir, cuando $p,q$ son vectores de la base. Este método se emplea muy a menudo cuando se trata con igualdad de funciones multilineal.

Answer 4

Que $v,w\in\mathbb{R}^3$. Supongamos que $v=(x_1,x_2,x_3)$, que $w=(y_1,y_2,y_3)$y que $u=v\times w=(z_1,z_2,z_3)$. Entonces el único vector $v\times w$ $u\in\mathbb{R}^3$ tal que

1. es ortogonal a ambos $u$$v$ y $w$;
2. $\|u\|=\|v\|.\|w\|.\sin\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $u$y $v$;
3. $\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\geqslant0$.

Que $g\in SO(3,\mathbb{R})$. Entonces

1. $g(u)$ es ortogonal a $g(v)$ y $g(w)$ (porque $g\in SO(3,\mathbb{R})$);
2. $\bigl\|g(u)\bigr\|=\bigl\|g(v)\bigr\|.\bigl\|g(w)\bigr\|.\sin\theta$ (otra vez, porque $g\in SO(3,\mathbb{R})$);
3. Si $g(v)=(x_1',x_2',x_3')$, $g(w)=(y_1',y_2',y_3')$ y $g(u)=(z_1',z_2',z_3')$ y $$\begin{vmatrix}x_1'&y_1'&z_1'\\x_2'&y_2'&z_2'\\x_3'&y_3'&z_3'\end{vmatrix}=\det g\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\geqslant0.$ $

Por lo tanto, $g(u)=g(v)\times g(w)$.

Answer 5

Si uno introduce el producto cruzado en una adecuada forma abstracta, esta propiedad será inmediata a partir de la definición. Primero, considere cualquier $n$-dimensiones reales de espacio vectorial, entonces cada base tiene asociada una forma de volumen ($n$-lineal alternada de forma), que se obtiene tomando el determinante después de expresar el $n$ argumento de vectores en coordenadas respecto a la base. Si el espacio vectorial está equipado con un producto interior, de modo que se convierte en un espacio vectorial Euclídeo$~E$, el volumen de las formas de las bases ortonormales para el interior del producto de dos valores opuestos; la elección de uno de estos el volumen de las formas define la estructura de una orientada a la Euclidiana espacio vectorial. El automorphism grupo $O(E)$ $E$ tiene un subgrupo $SO(E)$ de índice de$~2$ que corrige el volumen de las formas, y es el automorphism grupo de las orientadas espacio vectorial Euclídeo.

Ahora fijación $n-1$ vectores $p_1,\ldots,p_{n-1}$ $n$- dimensiones orientadas a la Euclídea del vector del espacio, hay una forma lineal $f:v\mapsto\operatorname{Vol}(p_1,\ldots,p_{n-1},v)$, y por lo tanto un único vector de $w$ tal que $f(v)=w\cdot v$; por definición, esta $w$ es el producto externo de $p_1,\ldots,p_{n-1}$. Para $n=3$, esto le da a la cruz del producto en una orientada a $3$-dimensional Euclideano espacio vectorial. Dado que sólo los orientados a la Euclídea se utiliza en la definición, el producto externo es automáticamente compatible con la acción de la$~SO(E)$; desde la (elección) forma de volumen se utiliza realmente en la definición, no es compatible con la acción de la$~O(E)$.