Ok, vamos a empezar desde cero. Una función de $g: \mathbb R^n \to \mathbb R$ $f \in C^2(\mathbb R^n)$ se dice convexo si su matriz Hessiana (es decir, el uno con coeficientes de $\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j$) está en todas partes (estrictamente) positiva definida.
Deje $\Omega \subset \mathbb R \times \mathbb R^n$ ser un conjunto abierto, y se centran en una conjuntamente $C^2$ Lagrangiano de la función $\Omega \times \mathbb R^n \ni (t,q,\dot{q}) \mapsto L(t, q, \dot{q}) \in \mathbb R$.
Para fija $(t,q) \in \Omega$, $L$ se supone que para ser convexa como una función de la $\dot{q}$. En otras palabras $\mathbb R^n \ni \dot{q} \mapsto L(t, q, \dot{q}) \in \mathbb R$ se supone que para ser convexo.
Hace referencia a cualquiera de los sistemas de puntos de asuntos o de los cuerpos sólidos, convexidad surge forman la estructura de la energía cinética parte de Lagrangians, que son siempre de la forma $T(t, q, \dot{q}) - V(t, q)$, incluso teniendo en cuenta generalizada de los potenciales de $V(t,q, \dot{q})$ lineal dependencia de la $\dot{q}$, como es el caso de inercia o de las fuerzas electromagnéticas y también en la presencia de holonomic ideal restricciones.
Los asociados de Hamilton función se define como la transformación de Legendre de $L$ con respecto a las variables $\dot{q}$. En otras palabras:
$$H(t,q,p) := \max_{\dot{q} \in \mathbb R^n}\left[p\cdot \dot{q} - L(t, q, \dot{q})\right]\qquad (1)$$
Dentro de nuestra hipótesis en $L$, a partir de la teoría general de la transformación de Legendre, surge que, de fijo, $(t,q) \in \Omega$ , un determinado $p \in \mathbb R^n$ es asociado con exactamente una $\dot{q}(p)_{t,q} \in \mathbb R^n$ cuando el máximo de la CARTA en (1) se alcanza (para $n=1$ la prueba es bastante evidente, no es para $n>1$).
Desde $\dot{q}(p)_{t,q} $ trivialmente pertenece al interior del dominio de la función $\mathbb R^n \ni \dot{q} \mapsto p\cdot \dot{q} - L(t, q, \dot{q})$, debe ser:
$$\left.\nabla_{\dot{q}} \right|_{\dot{q}= \dot{q}(p)_{t,q}} \left( p\cdot \dot{q} - L(t, q, \dot{q})\right) =0\:.$$
En otras palabras (siempre fija $t,q$):
$$p = \left.\nabla_{\dot{q}} \right|_{\dot{q}(p)_{t,q}} L(t, q, \dot{q})\:, \quad \forall \dot{q} \in \mathbb R^n\qquad (2)$$
Como consecuencia de ello, (siempre fija $(t,q)\in \Omega$) el mapa de $\mathbb R^n \ni p \mapsto \dot{q}(p)_{t,q} \in \mathbb R^n$
es inyectiva, porque no admite un derecho inversa dada por el mapa
$\mathbb R^n \ni \dot{q} \mapsto \nabla_{\dot{q}} L(t, q, \dot{q})$ , lo que, a su vez, es surjective. Sin embargo, el último mapa también es inyectiva, como se demuestra
el uso de la convexidad de la condición y el hecho de que el dominio $\mathbb R^n$ es trivialmente convexo. El hecho de que el $\dot{q}$-matriz Hessiana de $L$ es no-singular, implica también que el mapa (2) es $C^1$ con su inversa.
En resumen, el mapa (2) es una $C^1$ diffeomorphism de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^n$ y, a partir de (1), tenemos la identidad popular que describe la interacción de los Hamiltonianos y de Lagrange funciones como:
$$H(t,q,p) = p\cdot \dot{q} - L(t, q, \dot{q})\qquad (3)$$
que ocurre cuando se $p \in \mathbb R^n$ $\dot{q} \in \mathbb R^n$ están relacionados por medio de la $C^1$ diffeomorphism de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^n$ (fija $(t,q)\in \Omega$):
$$p = \nabla_{\dot{q}} L(t, q, \dot{q})\:, \quad \forall \dot{q} \in \mathbb R^n\qquad (4)\:.$$
Por construcción, $H= H(t,q,p)$ es una conjuntamente $C^1$ función definida en $\Gamma := \Omega \times \mathbb R^n$. Insisto en que $L$ está definido en el mismo dominio de $\Gamma$$\mathbb R^{2n+1}$. El conjunto abierto $\Gamma$ es equipado por el diffeomorphism:
$$\psi: \Gamma \ni (t,q, \dot{q}) \mapsto (t,q, p) \in \Gamma \qquad (4)'$$
donde (4) se mantiene.
Vamos a estudiar la relación entre los diversos derivados de $H$$L$.
Insisto en que no voy a hacer uso de Euler-Lagrange ecuaciones de Hamilton o en cualquier lugar en el siguiente.
Considere la posibilidad de una $C^1$ curva de $\gamma: (a,b) \ni t \mapsto (t, q(t), \dot{q}(t)) \in \Gamma$ donde $t$ no tiene ningún significado en particular y $\dot{q}(t)\neq \frac{dq}{dt}$ generalmente. El diffeomorphism $\psi$ transformar esa curva en un similar $C^1$ curva de $t \mapsto \psi(\gamma(t)) = \gamma'(t)$ I indicará también por $\gamma': (a,b) \ni t \mapsto (t, q(t), p(t)) \in \Gamma$.
Ahora podemos evaluar $H$ $\gamma'$ $L$ $\gamma$ y calcular el total temporal derivado de la toma (3) y (4) en la cuenta, es decir podemos calcular:
$$\frac{d}{dt} H(t, q(t),p(t)) = \frac{d}{dt}\left(p(t) \dot{q}(t) - L(t,q(t),p(t)) \right)\:.$$
Los cálculos da lugar casi de inmediato a la identidad, en la que ambos lados son evaluados en la respectiva curva:
$$\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{dq}{dt}\cdot \nabla_q H
+ \frac{dp}{dt}\cdot \nabla_p H = \frac{dp}{dt}\dot{q} + p \frac{d\dot{p}}{dt} -\frac{\partial L}{\partial t} - \frac{dq}{dt}\cdot \nabla_q L
- \frac{d\dot{p}}{dt}\cdot \nabla_{\dot{q}} L \:.$$
En el lado derecho, el segundo y el último término se cancelan entre sí en vista de (4), de manera que:
$$\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{dq}{dt}\cdot \nabla_q H
+ \frac{dp}{dt}\cdot \nabla_p H = \frac{dp}{dt}\dot{q} -\frac{\partial L}{\partial t} - \frac{dq}{dt}\cdot \nabla_q L \:.$$
La reorganización de los diversos términos en una forma más útil de la estructura:
$$\left(\frac{\partial H}{\partial t}|_{\gamma'(t)} + \frac{\partial L}{\partial t}|_{\gamma(t)}\right) +
\frac{dq}{dt}\cdot \left( \nabla_q H|_{\gamma'(t)} + \nabla_q L|_{\gamma(t)}\right) +
\frac{dp}{dt}\cdot \left(\nabla_p H|_{\gamma'(t)} - \dot{q}|_{\gamma(t)}\right) =0\:.\qquad (5)$$
Ahora veo que en realidad, desde la $\gamma$ es genérico, $\gamma(t)$ $\gamma'(t)= \psi(\gamma(t))$ son genéricos puntos en $\Gamma$ (sin embargo, conectados a través de la transformación (4)). Por otra parte, dado el punto de $(t,q, \dot{q}) = \gamma(t) \in \Gamma$, somos libres de elegir los productos derivados $\frac{dq}{dt}$ e (utilizando el diffeomorphism) $\frac{dp}{dt}$ como queremos, la fijación de $\gamma$ adecuadamente. Si queremos fijar a cero todos estos derivados, (5) demuestra que, si $(t,q, \dot{q})$ $(t,q,p)$ están relacionados por medio de (4):
$$\left(\frac{\partial H}{\partial t}|_{(t,q,p)} + \frac{\partial L}{\partial t}|_{(t,q, \dot{q})}\right) =0\:.$$
Este resultado no depende de derivados $dq/dt$ $dp/dt$ ya que no aparecen como argumentos de las funciones. Así que este resultado se da en todas partes en $\Gamma$ porque $(t,q, \dot{q})$ es un genérico de punto en el mismo.
Llegamos a la conclusión de que (5) puede ser re-escrita como:
$$\frac{dq}{dt}\cdot \left( \nabla_q H|_{\gamma'(t)} + \nabla_q L|_{\gamma(t)}\right) +
\frac{dp}{dt}\cdot \left(\nabla_p H|_{\gamma'(t)} - \dot{q}|_{\gamma(t)}\right) =0\:.\qquad (5)'$$
donde, de nuevo, estamos considerando un genérico curva de $\gamma$ como antes.
La fijación de dicha curva tal que todos los componentes de $\frac{dq}{dt}$ $\frac{dp}{dt}$ desaparecer a excepción de uno de ellos, por ejemplo,$\frac{dq^1}{dt}$, podemos encontrar:
$$\left(\frac{\partial H}{\partial q^1}|_{(t,q,p)} + \frac{\partial L}{\partial q^1}|_{(t,q, \dot{q})}\right) =0\:,$$
si $(t,q, \dot{q})$ $(t,q,p)$ están relacionados por medio de (4), y así sucesivamente.
Al final llegamos con las siguientes identidades, válido cuando se $(t,q, \dot{q})$ $(t,q,p)$ están relacionados por medio de (4)
$$\frac{\partial H}{\partial t}|_{(t,q,p)} =- \frac{\partial L}{\partial t}|_{(t,q, \dot{q})}\:, \quad \frac{\partial H}{\partial q^k}|_{(t,q,p)} =- \frac{\partial L}{\partial q^k}|_{(t,q, \dot{q})}\:, \quad
\frac{\partial H}{\partial p_k}|_{(t,q,p)} = \dot{p}^k\:.
\quad (6)$$
El último identidad es la que usted pidió. Como se puede ver, la encontró identidades dependen de la transformación de Legendre y en ellos no se consideran de Euler-Lagrange las ecuaciones de Hamilton o queridos.
Sin embargo, la explotación de estas identidades, que surge de inmediato que $\gamma$ comprueba EL ecuaciones:
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k} - \frac{\partial L}{\partial q^k}=0\:,\quad \frac{dq^k}{dt} = \dot{q}^k\quad k=1,\ldots, n$$
si y sólo si la transformada de la curva de
$\gamma'(t) := \psi(\gamma(t))$ verifica las ecuaciones de Hamilton.
$$\frac{d p_k}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q^k} \:, \quad \frac{dq^k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}\quad k=1,\ldots, n\:.$$
De hecho, a partir de una curva de $\gamma(t) = (t, q(t), \dot{q}(t))$, el primero EL de la ecuación, la explotación (4) (que es parte de la definición de $\psi$) y el segundo de la identidad en (6), se convierte en la primera ecuación de Hamilton para la transformación de la curva de $\psi (\gamma(t))$. Por otra parte, el segundo EL de la ecuación, haciendo uso de la última identidad en (6), se convierte en la segunda ecuación de Hamilton para la transformación de la curva. Este procedimiento es trivialmente reversible, de modo que, a partir de ecuaciones de Hamilton, usted puede ir de nuevo a EL de ecuaciones.
La primera de identidad en (6) no se utilizan aquí. Sin embargo, esto implica que el sistema es o no es invariante bajo traducciones en tiempo simultáneamente en Lagrangiana y Hamiltoniana de la formulación (en ambos casos, que la invariancia de la propiedad implica la existencia de una constante de movimiento que no es nada sino $H$ representado con las correspondientes variables de Lagrange o de Hamilton).
