Que $k = \mathbb{C}$ $K$ es la extensión $\mathbb{C}(T)(\sqrt{T^n + 1})$ $\mathbb{C}(T)$ $n \ge 2$ un entero incluso. Sospecho que el género de $K$ $(n - 2)/2$, pero todos los intentos de mostrar esto realmente no han pasado en cualquier lugar. ¿Alguien me podria decir de una manera fácil de ver esto, suponiendo que es cierto?
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Nir
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Su campo de extensión $K$ es el campo de funciones racionales $\operatorname {Rat}(C)$ de la suave afín curva algebraica $C\subset \mathbb A^2_k$ dado por la ecuación de $y^2=x^n+1$ .
Desde $n$ es, incluso, el cierre de la $\bar C \subset \mathbb P^2_k$ dado por la ecuación de $Y^2Z^{n-2}=X^n+Z^{n}$.
Esto no es una curva suave, pero su normalización es suave y los rendimientos de una ramifica a cubrir el espacio $$ f:(\bar C)^{\operatorname {nor}} \to \mathbb P^1$$ which is unramified over $\infty \in \mathbb P^1$.
La ramificación de los puntos de $f$ sobre el $n$ distintas raíces de $T^n+1$ y la de Riemann-Hurwitz teorema, a continuación, los rendimientos género $g$ : $$2g-2=2(2.0-2)+n$$ so that $g=\frac {n-2}{2}$, como usted predijo correctamente.
(Recuerde que el campo de funciones racionales de $(\bar C)^{\operatorname {nor}}$ es la misma que la de su abierta afín a la pieza de la $C$, es decir,$K$))
