¿Podemos obtener tensor de curvatura de Ricci de curvatura seccional?

Question

Que $(M,g)$ ser un $3$-dimensional múltiple de Riemannian y $\{e_1,e_2,e_3\}$ un marco orthonormal. ¿Sobre la curvatura seccional de esta variedad sabemos que $$K(e_1,e_2)=a,\quad K(e_1,e_3)=b,\quad K(e_3,e_2)=c,$ $ mi pregunta es: podemos determinar la curvatura de Ricci desde Asunción?

Gracias.

Answer 1

Usted sabe que sólo los componentes $R_{1212}, R_{2323}, R_{3131}$ (y los determinados a partir de estos por la costumbre simetrías); por lo que no se puede determinar, por ejemplo,$R_{1231}$. Ya que conocer el tensor de Ricci es lo mismo que saber el tensor de Riemann en la dimensión $3$, esto implica que no se puede determinar el tensor de Ricci.

Estamos tácitamente confiar en el hecho de que la costumbre (no diferencial) simetrías del tensor de Riemann son las únicas restricciones que en un $4$-tensor de orden para ser la curvatura (en un solo punto) de algunas métricas para probar esto, usted necesidad justa de la fórmula de la métrica en condiciones normales de coordenadas.

Answer 2

Esto es sólo un intento de encontrar algo útil para resolver el problema.

Sabemos que $$ Ric_m(x,y)=\sum^n_{i=1}R_m(x,e_i,y,e_i)\qquad x,y\in T_{M,m}. $$ Ahora, la curvatura seccional es $$ K(x,y) = R(x,y,x,y), $$ si $x,y$ son ortonormales. Por lo tanto, podemos ver que $$ Ric_m(x,x)=\sum^n_{i=1}R_m(x,e_i,x,e_i)=\sum^n_{i=1}K_m(x,e_i). $$

Ahora, sabemos que el tensor de curvatura $R$ puede ser visto como una auto-adjunto del operador $\rho$$\wedge^2T_M$, y $$ K_m(x,y) = \frac{\rho_m(x\wedge y,x\wedge y)}{g_m(x\wedge y,x\wedge y)}. $$ A pesar de $\{e_1\wedge e_2,e_1\wedge e_3,e_2\wedge e_3\}$ es una base para $\wedge^2T_{M,m}$ en nuestro caso, estamos en la misma posición de antes: tenemos solo los valores de la base y que no nos permite encontrar todo operador. Tal vez el hecho de que nuestro colector es tridimensional nos permite tener más información, pero en este punto me gustaría decir que los supuestos no son suficientes, pero todavía tengo que encontrar un contraejemplo.