Distancia promedio a un punto no centrales en un círculo

Question

Si elijo un punto dentro del círculo sobre el origen de la radio de $R$, decir $(r,\theta) = (0.5 R, \frac{\pi}{2})$, ¿cuál es la distancia promedio de todos los otros puntos a ese punto?

Las cosas que son interesantes, pero no es exactamente lo que quiero:

1. El promedio de la distancia desde el centro de un círculo a cualquier punto dentro de ella es $\frac{2}{3}$ de la radio.

2. Si dos puntos al azar son recogidos, la distancia promedio es $\dfrac{128 R}{45\pi}$ (http://mathworld.wolfram.com/DiskLinePicking.html)

Answer 1

OK, creo que la respuesta debe ser dada por: $$ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos{\theta}} dr d{\theta} $$ Donde $a$ es la distancia del punto desde el centro, $R$ es el radio del disco. Wolfram Alfa no funciona esto y no tengo la inclinación (o tal vez de la capacidad) para hacerlo yo mismo.

Lo he hecho aunque numéricamente, y el resultado se muestra a continuación (donde $R=100$). Como se puede ver al $a=0$, obtenemos 66.66 ($\frac{2R}{3}$) como se esperaba.

Dentro de este rango se aproxima bien con una ecuación cuadrática.