¿Cómo puede ser la energía cinética proporcional al cuadrado de la velocidad, cuando la velocidad es relativa?

Question

Comencemos con la energía cinética (de Wikipedia)

La energía cinética de un objeto es la energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta su velocidad establecida. Habiendo ganado esta energía durante su aceleración, el cuerpo mantiene esta energía cinética a menos que su velocidad cambie. La misma cantidad de trabajo se realiza por el cuerpo al disminuir su velocidad desde su velocidad actual hasta un estado de reposo. En la mecánica clásica, la energía cinética de un objeto no rotativo de masa m viajando a una velocidad $v$ es $\frac{1}{2}mv^2$.

Digamos que tú y tu bicicleta tienen una masa de 100 kg, entonces tu energía cinética a 10 m/s sería

$$E_a = 1/2 \times 100 \times 10^2 = 5000J = 5kJ$$

Si aplicas otros 5kJ de energía, no llegarás a los 20 m/s, solo llegarías a:

$$E_b = 10000J =1/2 \times 100 \times V_b^2$$ $$\implies V_b = \sqrt{10000 / (1/2 \times 100)} = 200 = 14.14m/s$$

Imagina que tú y un amigo van juntos a 10 m/s, desde su perspectiva acabas de quemar 5kJ pero solo aceleraste 4.1m/s, aunque parecieras estar estacionario.

Imagina que tú y tu amigo están en el espacio a la deriva juntos, a una velocidad desconocida. Tu amigo enciende sus propulsores y se acelera lejos de ti. Hay una gran pantalla en su nave que muestra cuántos julios de energía acaba de quemar, y tú puedes medir su velocidad relativa resultante sin problemas.

La pregunta es, ¿Siempre producirá 5kJ de energía 10m/s de velocidad relativa, asumiendo naves espaciales de 100 kg?

Si 5kJ siempre produce 10m/s, ¿por qué los siguientes 5kJ solo producen 4.1 m/s? ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

¿Cómo puede la energía cinética ser proporcional al cuadrado de la velocidad, cuando la velocidad es relativa?

Sin leer el resto de tu pregunta, debo responder primero que una cosa no tiene que ver con la otra.

La energía cinética depende del marco de referencia, al igual que la velocidad.

El momento es proporcional a la velocidad y también depende del marco de referencia, al igual que la velocidad.

Ahora, mirando el cuerpo de tu pregunta:

Imagina que tú y tu compañero están en el espacio, derivando juntos, a una velocidad desconocida.

¿Velocidad desconocida con respecto a qué? ¿Velocidad desconocida con respecto a la Tierra? ¿Velocidad desconocida con respecto al sistema solar? ¿Velocidad desconocida con respecto al CMB?

¿Suponiendo naves espaciales de 100kg, siempre producirán 5 kJ de energía 10 m/s de velocidad relativa?

¿Relativo a qué? ¿Relativo al marco de referencia inercial inicial antes de la aceleración? ¿O relativo a algún marco de referencia en algún movimiento relativo arbitrario?

(El punto de todas estas preguntas es hacer que pienses con más claridad sobre tu pregunta con la esperanza de que llegues a la respuesta por ti mismo...)

Answer 2

Tenga en cuenta que aquí, los "quemadores" producen aceleración al expulsar masa en movimiento rápido. La conservación del momento conduce a que la nave vaya más rápido. Ambos observadores medirán el mismo cambio en la velocidad.

Sin embargo, alguien en un marco "estacionario" (o cualquier otro marco con una velocidad diferente) medirá el mismo cambio en velocidad pero un cambio diferente en energía. La velocidad, la energía y el momento son todos relativos, pero para marcos inerciales la velocidad y el momento son relativos linealmente (así que podemos sumar o restar una constante para una transformación dada), mientras que la energía es cuadrática.

¿Suponiendo naves espaciales de 100 kg, producirá siempre 5 kJ de energía 10 m/s de velocidad relativa?

En este caso, donde la velocidad relativa inicial es 0, sí. Pero no en general, porque si comienzan con un diferente

Answer 3

Ambos el momento Y la velocidad deben ser relativos a la misma cosa. En otras palabras, si los dos ciclistas van a la misma velocidad, el momento de un ciclista con respecto al otro es cero. Si chocaran entre sí, ambos moviéndose a la misma velocidad, no pasaría nada.

En cuanto a la fórmula, no puedes decir que $5KJ$ produce $10m/s$ y luego otros $5KJ$ $4.14 m/s$. La fórmula no es asociativa.

Answer 4

Para responder tu última pregunta primero - la energía depende del cuadrado de la velocidad, no de la velocidad en sí misma. $$E \propto v^2$$ o $$v \propto \sqrt{E}$$

Lo cual significa que cuando duplicas la velocidad, cuadruplicas la energía de entrada. Para el ejemplo que diste, para obtener una velocidad de $20$ $m/s$ tendrías que dar una entrada de energía de $20$ $kJ$. Entonces claramente, cuando duplicas la entrada de energía, solo verás un aumento en la velocidad proporcional a $\sqrt 2$, y en tu caso eso es $1.414 * 10 = 14.14$, que es exactamente lo que obtuviste.

Espero que esto aclare parte de tu confusión. Para responder a tu pregunta del título - Como otras respuestas ya han señalado, tanto el momento como la velocidad son relativos. En la relatividad especial, el momento se transforma como $$p = \gamma mv$$ donde $v$ es la velocidad del cuerpo en un marco de referencia, y $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$$ donde $u$ es la velocidad relativa entre los dos marcos de referencia. Así que cuando un observador mide una velocidad diferente debido a su marco de referencia, también medirá una energía cinética diferente.

Answer 5

Oke para entender esto de manera más intuitiva, calculemos el siguiente ejemplo. Tenemos 3 cohetes de 100 kg uno al lado del otro flotando en el espacio. El cohete 1 y el cohete 2 tienen la misma velocidad y el cohete 3 tiene una velocidad $v_{int}$ diferente al cohete 1 y 2. Llamaremos cohete 1 a nuestro observador e intentaremos hacer que el cohete 2 alcance la misma velocidad que el cohete 3

En el espacio no podemos hablar de aceleración sin quemar algo de masa o cambiar a la relatividad. Por lo tanto, para permanecer en el régimen clásico, tendré que introducir la ecuación del cohete $$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_{init}} {m_{final}}$$ donde $v_e$ es la velocidad efectiva de la masa eyectada. Y $\Delta v$ es el cambio en la velocidad del cohete. Y $m_{init}$,$m_{final}$ son la masa antes y después de la llamada quema. La velocidad de escape $V_e$ en el marco del observador está relacionada con la velocidad de escape en el marco del cohete $v_e$ por (ya que la velocidad de escape está en la dirección negativa) $$V_e=V_{rocket}-v_e$$

ahora supongamos que el cohete 2 tiene un motor tal que si eyecta 1 kg de combustible ($\Delta m$) alcanzará una velocidad $V$ igual al cohete 3. así que $$\Delta v = V - 0 = v_e \ln\frac{100}{99}\approx0.01 v_e$$ entonces nuestro motor teórico tiene un $v_e$ de 100. Lo que nos dice que hay una nube de polvo o combustible yendo en la otra dirección con una velocidad de $100V$ ahora comprobamos la energía cinética utilizada para alcanzar esa velocidad. $$E_2 = \frac{1}{2} \left[ m_{final} * V_{final}^2 + \Delta m*(V_e)^2\right] \\=\frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 1*(100V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 10000*V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} 100 99 * V^2$$ Donde he añadido la energía cinética de la masa eyectada más la energía cinética final del cohete. Puedes ver claramente que la cantidad de energía química convertida en energía cinética depende en gran medida de tu elección de $\Delta m$. Así que esto es en el espacio donde hemos eyectado una cantidad muy pequeña de nuestra masa y el resultado es que necesitamos una cantidad muy grande de energía (en comparación con nuestra energía cinética final) para alcanzar nuestra velocidad objetivo.

Pero entonces, ¿por qué no importa la masa eyectada para una bicicleta? La razón de esto es que en la Tierra la masa que se eyecta es muy muy grande. básicamente estás eyectando la Tierra misma por lo que $v_e$ se vuelve cada vez más pequeño y el término adicional $\Delta m v_e^2$ se vuelve cada vez más pequeño. Esto se debe a que el $v_e$ se eleva al cuadrado y la $m$ es solo lineal.

así que cuando preguntas si siempre producirá un delta v de 10m/s la respuesta es que depende. ¿Sigues propulsando con la misma proporción de masa? porque eso es lo más importante en mecánica de cohetes.