Segunda derivada de un campo del vector

Question

Me pregunto cómo tratar la "segunda derivada" de un campo de vectores. Por ejemplo, imagina que tenemos un campo vectorial $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. A continuación, evaluamos la derivada en dos puntos de $Df(a)$ $Df(b)$ cuales son las matrices! Ahora,

$$D[Df(a)Df(b)] = D^2f(a)Df(b)+Df(a)D^2f(b).$$

Mi pregunta es, ¿qué es $D^2f(a)$? ¿Cómo puedo tratar esto? Me imagino que es algo identifyable con $\mathbb{R}^{n\times n \times n}$. En tal caso, si quiero calcular la "matriz" de la norma de $D[Df(a)Df(b)]$ (como la suma de todas las entradas) es esta entonces la suma de todas las posibles combinaciones de

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x_k} f(a) \ ?$$

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Supongamos que f'(x) denota la derivada de f en x,que es prácticamente una transformación lineal.Ahora, como usted variar x, se puede pensar de f' es una asignación de $\mathbb{R^n}$ a L($\mathbb{R^n}$,$\mathbb{R^n}$),el conjunto de todos transformación lineal de$\mathbb{R^n}$$\mathbb{R^n}$.Ahora, ¿cómo dar métrica estructura en L($\mathbb{R^n}$,$\mathbb{R^n}$)?Definir para Un en L($\mathbb{R^n}$,$\mathbb{R^n}$) |A|=sup(x) donde $|x|\le 1$(es un conjunto compacto y lineal mapas continua a fin de sup existen).Usted puede comprobar fácilmente que es una métrica en L($\mathbb{R^n}$,$\mathbb{R^n}$).Por supuesto, ahora usted puede hablar acerca de la continuidad y la diferenciabilidad de f':$\mathbb{R^n}$->L($\mathbb{R^n}$,$\mathbb{R^n}$).