$\sin(x^2)$ $\sin(x)$ y $\cos(x)$

Question

Uno de mis alumnos me preguntó "¿se Puede escribir $\sin(x^2)$ en términos de $\sin(x)$"? Yo le dije que me lo pensaría. De haber pensado en ello durante un tiempo, ahora sé que definitivamente yo no sé la respuesta!

Permite relajar la pregunta "...$\sin(x^2)$ en términos de$\sin(x)$$\cos(x)$".

Para $x$ un entero tenemos $\sin(x^2)=Im[(\cos x+i\sin x)^x]$, por lo que podemos hacer es fijo enteros. Pero eso no es muy satisfactorio.

Otra cadena de pensamiento es que la $\sin(x^2)$ no es periódica, por lo que no podemos simplemente hacer algo con series de Fourier. Sin embargo, mi conocimiento de la serie de Fourier se ha perdido en el tiempo, y no sé si

no periódicas $\Rightarrow$ no puede ser escrita como una suma de funciones trigonométricas

es cierto. Suena bien pensado, ¿no?

Answer 1

Una serie de fourier es generalmente de una serie infinita, y es posible escribir todo un reparto de funciones, incluso por ejemplo, $f(x)=x^2$ (donde no hay función trigonométrica aparece), como una infinita suma de trigonométricas son funciones (siempre y cuando se limite a un intervalo).

Sin embargo, no creo que su estudiante realmente había series de Fourier en la mente. Me imagino que su pregunta era más como "se puede simplificar $\sin x^2$ en una manera similar a $\sin(2x)$", y en ese caso, usted está en el camino correcto: el problema es que $\sin(x^2)$ es no periódica.

Es muy sencillo ver que cualquier finito suma, producto o fracción de $\sin$ $\cos$ es también periódica, ya que cualquier función de $f(x)=F(\sin x, \cos x)$ es también periódica:

$$f(x+2\pi)=F(\sin (x+2\pi), \cos(x+2\pi)) = F(\sin(x),\cos(x)) = f(x)$$

Answer 2

Supongo que $F:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ es una función de tal, así que el $\sin(x^2)=F(\sin(x),\cos(x))$ % todos $x \in \mathbb R$. Entonces tenemos

$$\sin((x+2\pi)^2) = F(\sin(x+2\pi),\cos(x+2\pi)) = F(\sin(x),\cos(x)) = \sin(x^2)$$

% de todos $x \in \mathbb R$. Pero esto es claramente falso (tomar $x=0$, por ejemplo).

Answer 3

Otra idea podría estar pensando en $x^2$ $x+x+...+x$ - (tiempos de $x$).

$\sin(x^2) = \sin(x+(x+...+x)) = sin(x)cos(x+(x+...+x)) + cos(x)sin(x+(x...+x))$ Y usted puede continuar ampliando la fórmula. No sé cuánto se podría simplificar, por lo que podría terminar con un monstruo feo, aunque todos en términos de $\sin(x)$ y $\cos(x)$